正弦定理几种证明方法.docx

正弦定理几种证明方法.docx正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法

（ 1）当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，
有 CD asin B , CD b sin A 。
C
a
b
c
b
由此，得
同理可得
，
b
a
sin A
sin
sin C
sin B
B ，
故有
a
b
c
A
D
B
sin
A sin
B
sin C . 从而这个结论在锐角三角形中成立 .
2）当 ABC是钝角三角形时，过点 C作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义， 有 CD asin CBD a sin ABC，CD b sin A 。由此，
得
a
b
同理可得
c
b
sin A
sin
ABC，
sin C
sin ABC
故有
a
b
c
sin
A sin
ABC
sin C .

C
b a
由 (1)(2)可知，在
a
b
c
A
B D
ABC中， sin A
sin B
sin C
成立 .
从而得 到： 在一 个三 角形 中 ，各 边和 它所 对角 的正 弦的 比值相等 ，即
a
b
c
sin A
sin B
sin C .
1’用知识的最近生长点来证明：
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点 A，点 B 之间的距｜ AB|，可测量角 A 与角 B，
需要定位点 C，即：
在如图△ ABC 中，已知角 A，角 B，｜ AB｜＝ c，
求边 AC的长 b
解：过 C 作 CD AB交 AB于 D，则
BD
csin A c sinAcosC
DC
sinC
sinC
tan C
AD
ccosA
cosC
b AC AD
DC c cosA
csin A cosC
c(sinC cosA sin A cosC )
csinB
sinC
sinC
sinC
推论：
b
c
sinC
sin B
同理可证：
a
b
c
sinB
sinC
sin A
2.