正弦定理的几种证明方法.pdf

该【正弦定理的几种证明方法 】是由【花开花落】上传分享，文档一共【4】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【正弦定理的几种证明方法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。时间:二O二一年七月二十九日
正弦定理的几种证明方法之马矢奏春创作
时间:二O二一年七月二十九日

C
(1)当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据锐角三角
ba
函数的界说,有CDasinB,CDbsinA.
AB
abcbD
由此,得,同理可得,
sinAsinBsinCsinB
abc
故有.从而这个结论在锐角三角形中成立.
sinAsinBsinC
(2)当ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,交AB的延长
线于点D,根据锐角三角函数的界说,有
ab
CDasinCBDasinABC,CD,得,同理C
sinAsinABC
cb
可得ba
sinCsinABC
abc
故有.ABD
sinAsinABCsinC
abc
由(1)(2)可知,在ABC中,成立.
sinAsinBsinC
从而获得:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,
abc
即.
sinAsinBsinC
1’用知识的最近生长点来证明:
实际应用问题中,我们常遇到问题:
已知点A,点B之间的距|AB|,可丈量角A与角B,
需要定位点C,即:
在如图△ABC中,已知角A,角B,|AB|=c,
求边AC的长b
时间:二O二一年七月二十九日
时间:二O二一年七月二十九日
解:过C作CDAB交AB于D,则
bc
推论:
sinBsinC
abc
同理可证:
sinAsinBsinC

已知△ABC,设BC=a,CA=b,AB=c,作AD⊥BC,
A
AD
Rt△ADB中,sinB,∴AD=AB·sinB=csinB.
AB
11
∴S△ABC=a•AD,可证
22CB
11D
S△ABC=absinCbcsinA.
22
∴
111
S△ABC=absinCbcsinAacsinB.∴absinc=bcsinA=acsinB,
222
sinCsinAsinB
在等式两端同除以ABC,可得.即
cab
abc
.
sinAsinBsinC

(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单元向量j垂直于AC,则j与
AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-
则可得ACCBAB,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两
边同取与向量j的数量积运算,获得j•(ACCB)j•AB
由分配律可得ACj•CBj•AB.
B
时间:二O二一年七月二十九日
时间:二O二一年七月二十九日
∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-A).
jC
ac
∴asinC=csinA.∴.A
sinAsinC
另外,过点C作与CB垂直的单元向量j,则j与AC的夹角为
cb
90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得.
sinCsinB
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j
与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为
abc
90°-B)∴.
sinAsinBsinC
(2)△ABC为钝角三角形,无妨设A>90°,过点A作与AC垂直的单
元向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为C90°-C.
由ACCBAB,得j·AC+j·CB=j·AB,
A
j
即AB
a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴
ac

sinAsinC
另外,过点C作与CB垂直的单元向量j,则j与AC的夹角为
90°+C,j与AB夹角为90°+,可得
bcabc
.∴
sinBsinCsimAsinBsinC

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接
时间:二O二一年七月二十九日
时间:二O二一年七月二十九日
圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=
对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以获得
∠BAB′=90°,∠C
cc
=∠B′,∴sinC=sinB′=sinCsinB.∴2R.
2RsinC
ababc
同理,可得2R,2R.∴2R.
sinAsinBsinAsinBsinC
这就是说,对任意的三角形,我们获得等式
abc
.
sinAsinBsinC
时间:二O二一年七月二十九日
时间:二O二一年七月二十九日