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§2 含参变量的反常积分
含参变量反常积分的一致收敛

含参变量的反常积分也有两种:无穷区间上的含参变量反常积分
和无界函数的含参变量反常积分。

设二元函数 yxf ),( 定义在+∞× dca ],[),[ 上,若对某个 0 ∈ dcy ],[ ,反
∞+ ∞+
常积分 0 ),( dxyxf 收敛,则称含参变量反常积分),( dxyxf 在 y0 处
∫a ∫a
收敛,并称 y0 为它的收敛点。记 E 为所有收敛点组成的点集,则 E
就是函数
∞+
= ),()( dxyxfyI
∫a
+∞
的定义域,也称为),( dxyxf 的收敛域。
∫a
为讨论 yI )( 的连续性、可微性和可积性,引进一致收敛的概念。
定义 设二元函数 yxf ),( 定义在+∞× dca ],[),[ 上,且对任意
的∈ dcy ],[ ,反常积分
∞+
= ),()( dxyxfyI
∫a
存在。如果对于任意给定的的ε> 0,存在与 y 无关的正数 A0 ,使得当
> AA 0 时,对于所有的∈ dcy ],[ ,成立
A
yIdxyxf )(),( <−ε,
∫a
即
∞+
),( dxyxf < ε,
∫A
∞+
则称),( dxyxf 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛(于 yI )( )。在参变量明确时,
∫a
∞+
也常简称),( dxyxf 在 dc ],[ 上一致收敛。
∫a
a ∞+
对),( dxyxf 与),( dxyxf 可同样定义关于 y 的一致收敛概念。
∫∞−∫∞−
∞+
−αx
e dx 关于α在α 0 + ∞),[ 上一
α∫0
α
致收敛(α 0 > 0 ),但在+ ∞),0( 上不一致收敛。
∞+
−αx α
解先说明 e dx 在αα0 + ∞),[ 上一致收敛。由于当α≥α 0 时,
∫0 α
∞+ 令=tx 1 ∞+ 1 1
≤ e0 − x dx = e −t dt e − A ≤= e −α0 A ,
∫A ∫ A
αα0
而
1
lim −α0 A = 0e ,
A +∞→
α 0
−α0 A 1
所以对于任意给定的ε> 0,存在正数 A0 ,使得当> AA 0 时,e α< ε。
0
这时成立
∞+ 1
−αx dxe < e −α0 A α< ε,
∫A
0
∞+
−αx
这说明 dxe 在α 0 + ∞),[ 上一致收敛。
∫0
∞+
再说明 e−αx dx 在+ ∞),0( 上不一致收敛。对于任意取定的正数 A ,
∫0
由于α
∞+ 1
e− x dx = e−αA ,
∫A α
1 ∞+
而 limα e−αA +∞= ,所以必存在某个α A +∞∈),0()( ,使得 e−α)( xA dx >1。
0+→α∫A
∞+
因此 e−αx dx 在+ ∞),0( 上不一致收敛。
∫0
对于无界函数的含参变量反常积分,同样也有一致收敛的概念:
定义 '设二元函数 yxf ),( 定义在× dcba ],[),[ 上,且对任意的
∈ dcy ],[ ,以b 为奇点的反常积分
b
= ),()( dxyxfyI
∫a
存在。如果对于任意ε> 0,存在与 y 无关的δ> 0 ,使得当0 < η< δ时,
对所有∈ dcy ],[ 成立
b−η
yIdxyxf )(),( <−ε,
∫a
即
b
),( dxyxf < ε,
∫b−η
b
则称),( dxyxf 关于 y 在 dc ],[ 上一致收敛(于 yI )( )。在参变量明确时,
∫a
b
也常简称),( dxyxf 在 dc ],[ 上一致收敛。
∫a
一致收敛的判别法
∞+
下面仅以),( dxyxf 为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函
∫a
数的情况,结果是类似的。
∞+
定理 (Cauchy 收敛原理) 含参变量反常积分),( dxyxf
∫a
在 dc ],[ 上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的ε> 0,存在与
y 无关的正数 A0 ,使得对于任意的′, > AAA 0 ,成立
A′
),( dxyxf < ε, ∈ dcy ],[ 。
∫A
一致收敛的判别法
∞+
下面仅以),( dxyxf