第五章　参变量积分.pdf

数学分析讲义
第五章参变量积分
所谓含参量的积分是指如下两大类积分:
β
1. F(x) = f( xy, )dy
òα
若对于"Îx[ab, ] 上述积分均是有意义的,即[αβ, ] 可以到无穷,积分是收敛的
(若为广义积分的话)。也就是说,作为 y 的函数, f(xy, ) 在[αβ, ] 上可积或广
义可积,则 Fx( ) 在[ab, ] 上就是关于 x 的函数,从积分本身的性质来讨论这类积
分与以往介绍的积分没有什么两样,但这里我们所关心的是:作为 x 的函数,Fx( )
与 f(xy, ) 的性质有哪些关系? Fx( ) 何时是可积的?连续的?可导的?等等这一
系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。
β(x)
2. G( x) = f(xy, )dy
òα(x)
这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于 Gx( ) 的性质不但依赖于 f(xy, )
之性质,而且与α( x) , β( x) 之性质相关。
另外,上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到
非初等函数的具体形式。
§1 含参量的定积分
我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分,即 f(xy, ) 作为 y 的函数无瑕
点,[αβ, ] 是有限区间的情形(或ëûéùαβ( xx), ( ) 均为有限区间)。
为便于书写,记D =´[ab,,] [αβ] 。
1 连续性
y
定理 1: f(x, yC)Î (D ) ,则 Ix( ,,y) =Îf(xt)dtC(D ) 。
òα
证明: 由连续定义,
yy
Ix,y­Ix,y=­fxt,,dt0 fxtdt
( ) ( 000) òòαα( ) ( )

yy
£­+0 éùfx,tfx,,tdtfxtdt
òòαëû( ) ( 0 ) y ( )
0
上式中,第一项可利用函数之连续性,第二项利用函数的可积性说明为小量:
由 f(x, yC)Î (D ) ,D 是有界闭集,所以 f(xy, ) 在D 上一致连续。
因而: ">ε 0 , $>δ1 0 ,当 xx­<01δ, yy­<01δ时,有:

含参量的积分
,
f(x,y) ­fxy( 00,2) <­ε(βα)
ε
令: ìü, ,
δδ= min,íý1 M= max,f(xy)
îþ2M (xy, )ÎD
则当 xx­<0 δ, yy­<0 δ时,有:
εεε
Ix( ,,y) ­Ix( y) <y­αε+My­yM<+=
00002(βα­ ) 22M
所以 Ix( , yC)Î (D ) 。
证毕
定理 1 可以有如下形式之推论:
β
推论: f(x, yC)Î (D ) ,则 F(x) =Îf( xy,,)dyCab[ ] ,即:
òα
βββ
limfxy,dy==fx,ydylim,fxydy 。
òα( ) òòαα( 0 ) ( )
x®®x00xx
推论可以简称为:极限号与积分号可以交换次序。
定理 2: f(x, yC)Î (D ) ,ϕψ( x),,(x)ÎCab[ ],
且 xÎ[ab, ]时,α££ϕ(xx),ψβ( ) ,
ψ( x)
则:G( x) =Îf(xy,,)dyCab[ ]。
òϕ(x)
ψϕ( xx) ( )
证明: 由于 G( x) =­f(xy,)dyf(xy,,,)dy=­Ixxψϕ( ) Ixx( )
òòαα( ) ( )
由复合函数之连续性知: G( x)ÎCab[ , ] 。
2 可导性
β(1)
定理 3:设 f(x,yf),,x (xyC)Î (D ) ,则 F(x) =Îf( xy,,)dyC[ab] ,
òα
β
且 F¢(x) = fx (xy, )dy ,即求导与积分可以交换次序。
òα
证明: 由导数定义:
F(xx+D) ­F(x) β f(x+D­x,,y) f( xy)
= dy
òα
DDxx
中值定理β
=fx ( x+θθDxy,)dy (01<<)
òα
由于 fx ( x, yC)Î (D ) ,由上一段推论知:
ββ
limfxx(x+θD=xy,,)dyf( xy)dy
D®x 0 òòαα
β
所以 F¢(x) = fx (xy, )dy 。
òα

数学分析讲义
同样由于由于 fx ( x, yC)Î