微积分全微分.ppt

第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
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本节内容:
一、全微分的定义
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关，
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
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处全增量
则称此函数在D 内可微.
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(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
得
函数在该点连续
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偏导数存在
函数可微
即
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定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
同样可证
证: 由全增量公式
必存在,且有
得到对 x 的偏增量
因此有
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反例: 函数
易知
但
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
注意: 定理1 的逆定理不成立 .
偏导数存在函数 不一定可微 !
即:
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定理2 (充分条件)
证：
若函数
的偏导数
则函数在该点可微分.
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所以函数
在点
可微.
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注意到
, 故有
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推广:
类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数故有下述叠加原理
称为偏微分.
的全微分为
于是
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例1. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解:
例2. 计算函数
的全微分.
解:
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可知当
*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算
由全微分定义
较小时,
及
有近似等式:
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(可用于近似计算; 误差分析)
(可用于近似计算)
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