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一阶线性微分方程的解法
班级:化工与制药类01班 学号：1206210102 姓名：陈佳
摘要：讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法：齐次方程，分离变量法；非齐次方程,常数变易法，公式法。
关键词：一阶，线性方程,解法。
一阶线性线性微分方程：
形如+p（x)y=Q（x)的方程为一阶线性微分方程。
（1）当Q（x）≡0时，为一阶线性齐次微分方程。
（2)当Q（x）≠0时，则为一阶线性非齐次微分方程.
一阶线性齐次方程的解法
分离变量法：齐次方程是可分离变量的方程，分离变量后得
=—P(x)dx
两边积分得 ln|y｜=－+C1
y=C (C=)
齐次方程的解法与可分离变量的微分方程的解法思路大体一致。常见的习题有求通解和求特解两种.

例1 求方程x=y-3的通解
齐次方程，分离变量得 =
两边积分得 ln｜y-3｜=ln|x|+lnC
即y=Cx+3
b。求特解问题
例2 求方程+3y=0 在x=0，y=2时的特解
P（x）=3 =—3dx
两边积分得 ln｜y|=—3x+C1
y=
代入初始值得 C1=ln2
即所求微分方程的特解为y=
一阶非齐次线性方程的解法
常数变易法：求其对应齐次方程通解y=C；再令C=C（x)，即y=C（x）；再把上式代入非齐次方程求得C(x）的微分方程，求出 C（x）;最后把C（x）代入便可得到非齐次方程的通解。
齐次方程为非齐次方程Q（x)≡0的一种特例,因而两种方程的通解之间必然存在着联系。即非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。
公式法：公式法是有常数变易法所求得的通解，利用齐次和非齐次线性方程关系整理变形出得到的一个求解非齐次线性方程的通式。
即 y=C
在实际计算时，对于两种方法应该根据需要合理选取。很多时候，两者可以通用。

例 1 设y1(x)是y′+p（x）y=q(x）的一个特解，求该方程的通解
利用两者之间的关系可求得所求通解为
y=y1+C
b。常数变易法求解通解的问题
例 2 求方程y′+2xy=x的通解。
其对应齐次方程y′+2xy=0的通解为 y=C
设原方程的通解为y=C（x）
求导得 y′=C′(x)— 2xC（x)
将y和 y′代入原方程得
C′(x)—2xC(x)+ 2xC(x)=x
即C′(x)=x积