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信号处理实验四离散傅里叶变换
哈尔滨工程大学
实 验 报 告
实 验 名 称： 实验四：离散傅里叶变换
班 级： 电子信息工程4班
学 号：
姓 名：
实 验 时 间： 2016年10月19日
成 绩：________________________________
指 导 教 师： 栾晓明
实验室名称： 数字信号处理实验室
哈尔滨工程大学实验室与资产管理处 制
实验四 离散傅里叶变换
实验原理
由DFT定义式： k=0, 1 , … , N-1,将其写成矩阵方程表示为
利用MATLAB的矩阵运算功能，可编写出计算DFT的函数文件。
function [Xk] = dft(xn,N)
%计算离散傅里叶变换
%Xk = 在0<=k<=N-1间的DFT系数数组
%xn = N点有限长序列
% N = DFT的长度
n = [0:1:N-1];
%n的行向量
k = [0:1:N-1];
%k的行向量
WN = exp(-j*2*pi/N);
WN = exp(-j*2*pi/N);
%Wn因子
nk = n'*k;
%产生一个含bk值的N乘N维矩阵
WNnk = WN.^nk;
%DFT矩阵
xn = Xk*WNnk;
%傅里叶反变换计算序列值
DFT的快速算法FFT利用了的三个固有特性：(1)对称性，，(2)周期性，，(3)可约性，和。FFT算法基本上可以分为两大类，即按时间抽选法(DIT，Decimation-In-Time)和按频率抽选法(DIF，Decimation-In-Frequency )。
MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换的fft函数：
X=fft(x)，基2时间抽取FFT算法，x是表示离散信号的向量；X是系数向量；
X=fft(x,N)，补零或截断的N点DFT，当x的长度小于N时，对x补零使其长度为N，当x的长度大于N时，对x截断使其长度为N。
Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数
相同，参考help文件。
2．利用DFT做连续信号的频谱分析
DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，由此可能引起分析误差。
混叠效应
对连续信号进行频谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用DFT（FFT）进行谱分析。采样速率fs必须满足采样定理，否则会在w=π（对应模拟频率f=fs/2）附近发生频谱混叠现象。
截断效应
处理实际信号序列x(n)时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)。矩形窗函数其频谱有主瓣，也许许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。时域的乘积对应于频域的卷积，所以，加窗后的频域实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延时到无穷。当窗口无穷大时，与冲
击函数的卷积才是其本身，这是无需畸变。由此可见，阶段后频谱Y(ejw)与原序列频谱X(ejw)必然有差别，这种差别表现在：
频谱泄露。原来序列x(n)的频谱是离散谱线，经截断后，原来离散谱线向附近展宽，成为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。
谱间干扰。主谱线两边又很多旁谱，引起不同频率分量间干扰，这使谱分析产生较大偏差。程度与窗函数幅度谱主瓣宽度直接相关。
栅栏效应
N点DFT是频率区间[0,2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是看不见的。这就好像从N个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到N个缝隙中看到的函数值。由于栅栏效应，有可能漏掉大的频谱分量。
对连续的单一频率周期信号按采样频率fs=8fa采样，截取长度N分别选N=20和N=16，观察其DFT结果的幅度谱。
解：此时离散序列，用MATLAB计算并作图，函数fft()用于计算离散傅里叶变换DFT，程序如下：
k=8;
n1=[0:19];
%序列点数20
xa1=sin(2*pi*n1/k);
subplot(221)
stem(n1,xa1)
xlabel('t/T');ylabel('x(n)');
%图一：序列图像