中考数学-圆的切线证明方法.docx

圆的切线证明
我们学习了直线和圆的位置关系， 就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的切线 .在我们所学的知识范围内, 证明圆的「切线常用的方法有:
、若直线l过。O上某一点A,证明l是。O的切线,
只需连OA ,证明OA
l就行了，简称“连半径，证垂「
直”，难点在于如何证明两线垂直
DM ±AC于M,求证：DM 与。O相切.
例1 如图，AB=AC , AB是。O的直径，O O交BC于D
证明一：连结OD.
•.AB=AC ,
ZB= r/C.
-.OB=OD ,
・•./= ZB.
・ .力=ZC.
. OD //AC.
. DM ±AC ,
.-.DM ±OD.
••.DM与。O相切
证明二：连结OD , AD.
•.AB是。O的直径,
. AD ± BC.
又. ABmAC,
A
-. DM ±AC ,
.•.z2+ Z4=90 0
,.OA=OD ,
・./= Z3.
.2+ Z4=90 0
即 OD ±DM.
•.DM是。O的切线
例2 如图，已知：AB是。O的直径，点
C在O O ±,且/CAB=30 0, BD=OB , D在AB的延长线上.
求证：DC是。O的切线
证明：连结OC、BC.
,.OA=OC ,
.•.zA= Z1= Z30 0.
ZBOC= ZA+ Z1=60 0
X1. OC=OB ,
.
.•.OB=BC.
•.OB=BD ,
.•.OB=BC=BD.
.-.OC ±CD.
・•.DC是。O的切线.
例3如图，AB是。。的直径，CD^AB ,且OA2=OD OP.
求证：PC是。。的切线.
证明：连结OC
•.OA2=OD OP, OA=OC , . OC2=OD OP,
OC OP . OD OC
又•••/1= Z1 ,
・••ZOCPsRdc.
dOCP= ZODC.
. CD ±AB ,
dOCP=90 0.
・•.PC是。O的切线.
二、若直线l与。O没有已知的公共点，又要证明l是
OO的切线，只需作 OA^l, A为垂足，证明 OA是O
O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例4 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.
求证：AC与。D相切. A
证明一：连结 DE ,作DF ±AC, F是垂足.
.「AB是。D的切线,
••DEXAB.
.DcFXAC ,
•.zDEB= ZDFC=90 0
.AB=AC ,
.•.zB= ZC.
=CD ,
•・ZBDE^WDF (AAS)
.DF=DE.
••F 在O D 上.
•.AC是。D的切线
证明二：连结 DE , AD ,作DF ±AC, F是垂足.
. AB与。D相切，
••DEXAB.
,.AB=AC , BD=CD ,
・./= Z2.
. DEXAB , DF ±AC, .•.DE=DF.
••F 在O D 上.
••.AC与