高等数学二重积分详解PPT课件.pptx

一 直角坐标系中的计算方法
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
o
x
y
a
b
c
d
分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。
Δx
Δy
Δσ
可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为
可以证明：
其中dxdy称为面积元素。
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利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
（1）当积分区域为
以下均设函数 且在D上连续。
如图所示：
o
x
y
a
b
D
o
x
y
a
b
z
D
相应的曲顶柱体如右图。
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在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：
底为
高为
x
其面积为
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得
o
x
y
a
b
z
D
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于是，得二重积分的计算公式：
类似地，若积分区域为
如右图所示，
o
x
y
D
c
d
则二重积分的计算
公式为
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总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
o
x
y
a
b
D
x
区间[a,b]是x的取值范围。
在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，
先穿过的边界
是y的积分下限，
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后穿过的边界 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。
如下图：
o
x
y
D1
D2
D3
o
x
y
D1
D3
D2
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例1 计算
D为直线 与抛物线
所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
法一 先y后x。
解：
积分区域D如图。
1
o
x
y
D
将积分区域投影到x轴上，得到x的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点x，
过该点作一条平行于y轴的射线，
x
先穿过的边界
作y的积分下限，
后穿过的边界 作y的上
限，这样就有
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所以
法二
o
x
y
D
将积分区域投影到y轴上，得到y的范围[0，1].
1
在[0，1]上任取一点y，
过该点作一条平行于x轴的射线，
y
则先穿过的边界 为x的下限，
后穿过的边界
为x的上限，
于是
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所以
小结：在二重积分的计算中，有时积分次
序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注
意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择
恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。
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例2 将 化成二次积分，
其中D由
围成。
解：解方程组
得这条直线和抛物线的交点为
(8,4),(2,-2)，如右图。
o
x
y
1）先对y后对x积分：
8
得
所以
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