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离散傅里叶变换
第三章 离散傅里叶变换
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§ 3-1 引言

。
。
，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。

DFT要解决两个问题：
一是离散与量化，
二是快速运算。
傅氏变换 离散量化 DFT(FFT) 信号处理
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式
连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
t
X(t)
时域信号
频域信号
连续的
非周期的
非周期的
连续的
对称性：
时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
、离散频率傅里叶变换-傅氏级数
0
t
---
---
0
*时域周期为Tp,
频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号
频域信号
连续的
周期的
非周期的
离散的
、连续频率的傅氏变换
--序列的傅氏变换
x(nT)
T
-T
0
T
2T
t
时域信号
频域信号
离散的
非周期的
周期的
连续的
、离散频率的傅氏变换--DFT
t
0
T
2T
1 2 N
n
NT
0
0 1 2 3
k
由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号
频域信号
离散的
周期的
周期的
离散的
DFT的简单推演：
在一个周期内，可进行如下变换：
视作n的函数，
视作k的函数，
这样,
§ 3-3 周期序列的DFS

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
对上式进行抽样，得：
，代入
又由于
所以求和可以在一个周期内进行，即
这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
二. 的k次谐波系数 的求法

同样，当 时，p也为任意整数，则
亦即
所以
的表达式
将式 的两端乘
，然后从 n=0到N-1求和，则：
通常将定标因子1/N移到 表示式中。
即：

通常用符号 代入，则：
正变换：
反变换：
4. 的周期性与用Z变换的求法
周期性：
用Z变换的求 ：
对 作Z变换，
1
2
3
4
5
6
7
(N-1)
k=0
如果 ，则有
可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的
N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。
§ 3-4 DFS的性质

如果
则有
其中，a,b为任意常数。

如果
则有：
证明：
令i=m+n,则 n=i-m。n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m
所以
* 和