第五章 主成分分析.doc

第五章主成分分析
【问题导入】在经济学中,用来评价拟建工程项目指标主要有:(1)投资回收期;(2)净本文由【中文word文档库】理。中文word文档库免费提供海量教学资料、行业资料、范文模板、应用文书、考试学习和社会经济等word文档
现值;(3)净终值;(4)净年金;(5)内部收益率。一个工程投资项目在作决策之前,一般要先形成几个可供选择的投资方案。但是在用这5项指标来评价几个可供选择的方案时,经常是每个方案都有一二项指标最优,说明几个方案各有优点和特色,这就使得投资决策者很难作出选择。延边通用机械厂2008年拟投资一个,备选的投资方案中如下表所列:
表1 投资决策表
方案
项目指标
投资回收期
净现值
净年金
净终值
内部收益率
甲

14
30

%
乙

22
20
66
%
丙

28
15

%
从表中我们可以看出3个投资方案中甲方案有两项指标(投资回收期和净年金)最优,乙方案有内部收益率最优,而丙方案也有两项指标(净现值和净终值)最优。那么决策者应该如何选择呢?
为了使得决策更加有效,通用机械厂项目管理部在评估投资方案时需要利用一种既可以综合考虑方案所有指标,又能有优点和特色的方法。而应用主成分分析法可以解决这个难题,综合全面考虑,在顾及其它指标的条件下,丙方案突出体现了方案本身的净现值和净终值的优势。
第一节主成分分析的基本思想与理论

为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律,在对其进行的实证研究中往往涉及到众多的变量,例如,人口普查往往要调查每个人的姓名、年龄、性别、文化程度、职业、住房等几十项指标;对企业的统计往往也有产量、产值、品种、消耗、费用、劳动生产率、成本、资金占用、销售收入、利润等十几顶指标。从搜集资料的角度看,多记录几项可以避免重要信息的遗漏;从统计角度来看,这些指标相互之间有一定的依赖关系。这就使得所观测的数据在一定程度上反映的信息有所重叠。基于上述问题,人们就希望在定量研究中涉及的变量较少,而得到的信息量又较多。主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。
既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定得相关性,就必然存在着起支配作用的共同因素,根据这一点,通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究,利用原始变量的线性组合形成几个综合指标(主成分),在保留原始变量主要信息的前提下起到降维和简化问题的作用,使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。一般来说,利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间有如下基本关系:
。
。
。
。
主成分分析的目的是:数据的压缩和解释,它常被用来寻找判断事物或现象的综合指标,并对综合指标所包含的信息进行适当的解释。
通过主成分分析,可以从事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分,从而能有效利用大量统计数据进行定量分析,揭示变量之间的内在关系,得到对事物特征及其发展规律的一些深层次的启发,把研究工作引向深入。

设对某一事物的研究涉及个指标,分别用表示,个指标构成的维随机向量为。设随机向量的均值为,协方差矩阵为。
对进行线性变换,可以形成新的综合变量,用表示,也就是说,新的综合变量可以由原来的变量线性表示,即满足下式:
由于可以任意地对原始变量进行上述线性变换,由不同的线性变换得到的综合变量的统计特性也不尽相同。因此为了取得较好的效果,我们总是希望的方差尽可能大且各之间相互独立,由于
而对任给的常数,有
因此对不加限制时,可以使得任意增大,问题将变得没有意义。我们将线性变换约束在下面的原则之下:
1. 即。
2. 与相互无关。
3. 是的一切满足原则1的线性组合中方差最大者;是与不相关的所有线性组合中方差最大者;,是与都不相关的
的所有线性组合中方差最大者。
基于以上三条原则决定的综合变量分别称为原始变量的第一、第二、…,第个主成分。其中,各综合变量在总方差中所占的比重依次递减,在实际研究工作中,通常只挑选前几个方差最大的主成分,从而达到简化系统结构,抓住问题实质的目的。
第二节主成分分析的基本方法
从主成分分析的基本思想和基本理论可以看出,主成分分析的任务是估计主成分,确定主成分的个数,解释主成分的实际意义,有时还需要计算主成分得分。
(一)估计主成分
假设有个指标,每一个指标有个观察值,它们的标准化指标变量是。令,的方