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三相坐标系和二相坐标系转换.doc交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三） 第三讲坐标
变换的原理和实现方法
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由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象， 为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。

坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为
y=ax （3-1）
式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y,其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三 相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y,可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还 有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：
（1） 确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；
（2） 为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；
（3） 确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：
i=ci '（ 3-2）
式中,i为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：
u' =bu （3-3）
式中,u为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：
b=ct (3-4)
式中，Ct为矩阵c的转置矩阵
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
(a-b-c < = > a-B)
所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称 3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图 3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的a轴重合。假设磁势波形是按正
弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相 组绕的瞬时磁势沿 a B轴的投影应该相等，即：
2 4 坷1 I
=0 + ^^ 呂in年斗 Nd sinj j
(3-5)
式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得:
图3-1三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系
用矩阵表示为:
1
1 1 ■
~2 2
0

2 2
装
r k

(3-8)
如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i根据电流变换的定义式（3-2），式（3-8）具有i' =Ci的形式，为了通过求
逆得到c就要引进另一个独立于is a和is B的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为:
式中，k为待定系数。
补充io后，式（3-8）变为:
则:
[1 -i 丄]
2 1 C迺卫 2 2
(3-11 )
将c-1求逆，得到:
(3-12)
其转置矩阵为:
■ -
2
1
TE
(3-13)
根据确定变换矩阵的第三条原则即要求 c-仁Ct ,
可得
2疋，从而有
代入相应的变换矩阵式中，得到各变换矩阵如下:
二相一三相的变换矩阵:
c
±率 ¥3 o 苗2冶2
1-2 1-2
do加一玉4-t o s- s coo
(3-14)
三相一二相的变换矩阵:
cof}
sirC
An
i
(3-15)
对于三相y形不带零线的接线方式有,
ia + ib + ic = 0则，ic = — ia — ib,由式(3-8)可以得至
(3-16)
而二相一三相的变换可以简化为:
口 ―!
1 ]_
1 - - -1
2 2
• ■
i
3
N、
0壷-A
i
L 2 2 1
F ■
(3-17)
图3-2表示按式（3-16）构成的三相一二相（3/2）变换器模型结构图
图3-2 3/2变换模型结构图
3/2变换、2/3变换在系统中的符号表示如图3-3所示
图3-3 3/2变换和2/3变换在系统中的符号表示
如前所述，根据变换前后功率不变的约束原则，电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，还可以证明，它们也是磁链的变换
矩阵
()
图3-4(a)是一个对称的异步电动机三相转子绕组。图中 3 si为转差角频率。在转子对称多相绕相中，通入对称多相交流
正弦电流时，