切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理.doc

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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1. 切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 （PA长）
2. 切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切
线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得
到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切OO于P, PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7. 与圆有关的比例线段
定理 图形 已知 结论 证法
相交弦定
理
相交弦定
理的推论
切割线定
理
切割线定 理推论
圆幕定理
OO 中，AB CD为弦，交 PA- PB= PC- PD. 于P.
OO 中，AB为直径，CDLABPC= PA- PB.
于P. | （特殊情况）
OO 中，PT切OO 于 T, PT2= PA- PB 割线PB交OO于A
PBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD 交OO于A C
OO 中，割线 PB交OO 于 P'C - P'D = r2
A, CD为弦 OP'2
PA- PB= OP— r2
连结 AC、BD,证：
△ APC^A DPB.
用相交弦定理.
连结TA、TB ,证：
△ PTB^A PAT
过P作PT BOO于T,用
延长P'O交OO于M延 长OP'交OO于N,用相交 弦定理证；过P作切线用
r为OO的半径
切割线定理勾股定理证
8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数—（r为圆半径），因为OP2 -R2叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为 圆幕定理。
【典型例题】
,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 O,过A作半圆切线，切
点为F,交CD于 E,求DE AE的值。
图1
解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理
1 3 15
£）5 = 1- - = - Aff 二 1 + —二一
4 4 4 4
例2. OO中的两条弦 AB与CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE= cm。
图2
解：由相交弦定理，得
AE- BE= CE- DE
■/ AE= 6cm, BE= 2cm,