函数单调性的判定方法.doc

. -
６
- -可修编.
函数单调性的判定方法

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设为定义在上的函数。若对任何、，当时，总有
(1)，则称为上的增函数，特别当成立严格不等时，称为上的严格增函数；
(2),则称为上的减函数，特别当成立严格不等式
时，称为上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取,且；
（2）作差；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 在给定的区间D上的单调性）。
。
证明：设,，且，则
. -
６
- -可修编.
由于，
则，即，所以在上是减函数。
在上的单调性。
证明：设、，且，则
，
又所以，，
当、时，此时函数为减函数；
当、时，此时函数为增函数。
综上函数在区间内为减函数；在区间内为增函数。
此题函数是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于与0的大小关系不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数当时，容易得出与大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
. -
６
- -可修编.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当时，在R上是增函数；
当时，在R上是减函数。
二次函数
当时，时单调减,
时单调增；
当时，时单调增，时单调减。
反比例函数
且
当时,在时单调减，在时单调减；
当时,在时单调增，在时单调增。
. -
６
- -可修编.
指数函数
当时，在R上是增函数；
当，时在R上是减函数。
对数函数
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数。
对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
⑴．与+单调性相同。（为常数）
⑵．当时，与具有相同的单调性；当时， 与具有相反的单调性。
⑶．当恒不等于零时，与具有相反的单调性。
⑷．当、在上都是增（减）函数时，则＋在上是增（减）函
数。
⑸．当、在上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，在上
是增（减）函数；当、在上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，
在上是减（增）函数。
⑹．设,为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义
域上也是严格增（减）函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看