高等代数1-数域-精品课件(PPT).ppt

1 /9一、数域的概念一、数域的概念二、数域性质定理二、数域性质定理 2 /9 一、数域设P是由一些复数组成的集合,其中包括数不为 0)仍是 P中的数,则称 P为一个数域. 0与1,如果 P中任意两个数的和、差、积、商(除常见数域:复数域 C;实数域 R;有理数域 Q; (注意:自然数集 N及整数集 Z都不是数域.) 定义 3 /9 说明: 1)若数集 P中任意两个数作某一运算的结果仍在 P 中,则说数集 P对这个运算是封闭的. 2)数域的等价定义:如果一个包含 0,1在内的数集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为 0) 是封闭的,则称集 P为一个数域. 4 /9 是一个数域. :数集??( 2) 2 | , Q a b a b Q ? ? ?证: 0 0 0 2, 1 1 0 2, ? ? ???, ( 2), x y Q ? ?又对 2, 2, x a b y c d ? ? ??设则有( 2 ) ( ) 2 ( 2) x y ac bd ad bc Q ? ????? 0,1 ( 2) Q ? ?, , , , a b c d Q ?( ) ( ) 2 ( 2), x y a c b d Q ? ?????设 2 0, a b ? ?于是也不为 a b ? 5 /9 或 0, 0 a b ? ?矛盾) (否则,若 2 0, a b ? ?则 2, a b ? 2 , aQb ? ?于是有 2 0. a b ??? 22 c d a b ?? 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 ac bd ad bc Q a b a b ? ?? ??? ?为数域. ( 2) Q???( ) , , 1 Q i a bi a b Q i ? ? ???是数域. 类似可证 Gauss 数域( 2)( 2) ( 2)( 2) c d a b a b a b ? ??? ? 6 /9 P是至少含两个数的数集,若 P中任意两个数的差与商(除数≠0)仍属于 P,则 P为一个数域。有证:由题设任取, , a b P ? 0 , a a P ? ?? 1 ( 0), b P b b ? ??(0 ) , a b a b P ? ????, a