第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化.ppt

第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化
一、相似矩阵的概念
定义1 设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P –1 A P= B
成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。称P为相似变换矩阵。
相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足
自反性： A ~ A ，
对称性：若A~B，则B ~ A
传递性：若A~B， B ~ Ｃ，则 A ~ Ｃ
1. 如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相
同的特征值。即 若A~B，则 |lE-A|=|lE-B|
|lE-B|
=|P-1(lE)P -P-1AP |
=|lE-P-1AP|
=|P-1(lE-A)P|
=|P-1||lE-A||P|
=|lE-A|，
二、相似矩阵的性质
A与B有相同的特征多项式，
所以它们有相同的特征值。
2. 相似矩阵的行列式相等。即若A~B，则|A|=|B|
|B| =|P-1AP|=|P-1| |A| |P|=|A| |P-1P| =|A|
证明：因为P-1AP=B，
。
即 若A~B，则
相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
若都可逆，其逆矩阵也相似。
5. 相似矩阵有相同的秩。即若A~B，则R（A）=R（B）
注意：以上性质均为相似的必要条件，可以用来
排除哪些矩阵不相似。
例5 若Ａ相似于对角阵L，则存在可逆阵Ｐ，使
则 A= P L P-1
A２= （P L P-1 ）（ P L P-1）＝ P L２ P-1 ,
A３＝ A２ A＝ （P L２ P-1）（ P L P-1）＝ P L３P-1 ,
Am ＝ P L m P-1
证明
因为Ａ相似于对角阵L，故存在可逆阵Ｐ，使
P-1 A P= L,
一般的： Am ＝ P L m P-1。
利用对角矩阵计算矩阵多项式
k个
利用上
述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 .
定理
证明
例1 若
求 x，y．
解得： x = -17, y= -12
解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A) = tr(B), |A|=|B| , 即
22+x =1+4
22x -31y=4-6