直接证明与间接证明.doc

直接证明与间接证明
直接证明与间接证明
直接证明与间接证明
直接证明与间接证明
目标要求：１。了解直接证明的两种基本方法--分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。2。了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点．
考查角度[直接证明]
１。（2０１3·课标全国卷Ⅰ)设△AnＢｎCn的三边长分别为an,ｂn,cn，△ＡｎBｎCn的面积为Ｓｎ,n=1,2，３，….若ｂ１>ｃ1，b１+c１=2ａ1，an＋1=an,ｂn+1=,cn+1=，则（ ）
A。｛Sｎ}为递减数列
B。{Sｎ｝为递增数列
C。｛S2ｎ-1}为递增数列,｛S2n｝为递减数列
D.{Ｓ２n-1｝为递减数列,｛S２ｎ｝为递增数列
解：在△Ａ1B1C1中，ｂ１>c1,ｂ1＋ｃ1=２a1，∴ｂ1＞ａ1〉c1．
在△A2B２C2中，a2=a1,ｂ2＝,c2=，b2+ｃ２=2ａ1,∴c1<b２<ａ1<ｃ２<ｂ1．
在△A3Ｂ3Ｃ3中,ａ3=a2＝a1，b3=＝,c3=＝，ｂ3+ｃ3=２a１，∴a１〈b3<c２，b2＜c3＜a1，∴c1<b２＜ｃ3＜ａ１<b3＜c2<b1。由归纳知,n越大,两边ｃn,bn越靠近ａ1且cn＋bn＝2a１,此时面积Sｎ越来越大,当且仅当cｎ＝bn=a1时△ＡｎBｎCn的面积最大．
【答案】 B
2。(２013·北京高考)已知｛ａｎ｝,第n项之后各项ａｎ＋1，an＋2,…的最小值记为Bn，ｄｎ＝An－Ｂn．
（1）若｛ａn｝为2,1，4,３，2,１，４，3,…,是一个周期为4的数列（即对任意n∈N＊，an＋4=an），写出ｄ１，d２,ｄ3,ｄ４的值；
（2）：ｄn=－ｄ(n＝1，２，3,…）的充分必要条件为｛ａn}是公差为d的等差数列;
（3)证明：若a１＝2,dｎ=1(ｎ=１,２,３，…）,则｛aｎ｝的项只能是1或者2，且有无穷多项为１.
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解:(1）d１=d2=1,ｄ３=ｄ4=３.
(2)证明：(充分性)因为{aｎ｝是公差为d的等差数列，且d≥0,所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An=an，Bn=ａn＋１，ｄn=an－aｎ+1＝－d（ｎ＝1,2,3，…)。
（必要性）因为ｄｎ=—d≤０(n=1，2,３，…），
所以An=Bｎ＋ｄｎ≤Ｂn。
又因为aｎ≤Ａn,an+１≥Bｎ,所以aｎ≤an+1。
于是,Aｎ＝an,Bn＝aｎ+1.
因此an+1－an=Ｂn—Ａｎ=-ｄｎ=d，
即{an}是公差为ｄ的等差数列．
(3)证明:因为ａ1=2,d1=1，所以A1＝a１=２,Ｂ１＝A１-ｄ1=1。
故对任意n≥１，an≥Ｂ1＝1.
假设{an}（n≥２）中存在大于2的项．
设ｍ为满足am＞２的最小正整数,
则m≥2，并且对任意１≤k〈ｍ，aｋ≤2.
又因为ａ1=２，所以Am—1=2,Aｍ=aｍ＞2,
于是,Ｂm=Ａｍ-ｄm〉２—1=1，Bm-1＝ｍiｎ｛aｍ,Ｂm｝≥2。
故ｄm－１＝Am—１—Bｍ-1≤2-2=0,与dm—1＝１矛盾．
所以对于任意n≥1，有aｎ≤2,即非负整数列{an｝的各项只能为1或２.
因为对任意ｎ≥１,an≤２=ａ1，
所以An=2。
故Ｂｎ=An—ｄｎ＝２-1＝1。
因此对于任意正整数n，存在m满足ｍ＞ｎ，且am=１，即数列{aｎ｝有无穷多项为1。
［命题规律预测］
命题规律
从近几年高考试题看，高考对本节内容的考查主要体现在以下两点:
，且要求有较强的逻辑推理能力和综合能力．
２。与函数、数列、不等式等交汇命题,以解答题为主.
考向预测
预测２０１６年高考对本部分的考查主要与导数的应用,不等式的证明及数列的递推关系相结合，考查学生运用知识解决问题的能力,难度较大。
直接证明与间接证明
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考向一 　综合法
【例1】　（２01４·北京高考)如图11。3。1，在三棱柱ABＣ。A1Ｂ1C1中,
侧棱垂直于底面，ＡＢ⊥ＢC，AA1＝AC=2，BC＝1，E，Ｆ分别是Ａ1C1，BＣ的中点．
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2）求证:C1Ｆ∥平面AＢE；
(3）求三棱锥Ｅ—ABC的体积。
图１1。3。1
【思路点拨】　（1）利用已知条件转化为证明AＢ⊥平面Ｂ１BCC1；（２)取AB的中点Ｇ，构造四边形ＦGEＣ1，证明其为平行四边形，从而得证;(3)根据题中数据代入公式计算即可.
【解】　(1）证明：,
BB1⊥底面