定积分5.ppt

21 世纪高职高专精品教材高等数学中山火炬职业技术学院 定积分的元素法 平面图形的面积 定积分的几何应用 定积分的几何应用我们再分析一下曲边梯形面积的计算问题. 设,如果说定积分( ) 0 y f x ? ?,( [ , ]) x a b ?( )d ba A f x x ??是[a, b] 以为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数( ) ( )d xa A x f t t ??就是[a, x] 以为底的曲边梯形的面积(如右上图中左边的白色区域) .而微分 d ( ) ( )d A x f x x ? 定积分的元素法则表示点 x处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值(如上图中浅黑色矩形) . f(x)dx 称为曲边梯形的面积元素或面积微元. 以[ a,b ]为底的曲边梯形的面积 A就是以面积元素 f(x)dx 为被积表达式, 以[ a,b ] 为积分区间的定积分( )d ba A f x x ??一般情况下,为求某一量 U ,根据问题的具体情况, 选取一个变量例如 x 作为积分变量,确定其变化区间[a,b ].对,给以一个改变量 dx ,得到一个小区间),然后求出相应于这个小区间的部分量△U的近似值,即 U 在点 x的微分 dU . 如果能求出[ , ] x a b ??[ , d ] x x x ? d ( )d U f x x ?则把这些微分在区间[ a,b ]上作定积分,即得所求量( )d ba U u x x ??这一方法称为定积分的元素法或微元法. 10 ( )d tt s v t t ??解对,我们在 t 时刻任取一小段时间间隔[ t,t+ dt] ,因为时间间隔 dt 很小,我们“以匀速代变速”,得到路程 s的微分,即路程元素或微元 0 1 [ , ] t t t ?? d ( )d s v t t ?有了路程元素,只要从 t0到 t1积分,就得到质点在这段时间走过的路程: 例1 已知质点运动的速度为 v(t) ,计算从时刻 t0到 t1质点所走过的路程 yo )(xfy?abx yo )( 1xfy?)( 2xfy?ab 曲边梯形的面积?? badx xfA)( 曲边梯形的面积??? badx xfxfA )]()([ 12 一、平面图形的面积 x xxx?? x? 平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线 y=f(x)和 y=g(x) 以及左右两条直线 x=a与x=b所围成(见右图) ,其中 , 则该平面图形的面积的求法如下: ???? g x f x ?面积元素: d [ ( ) ( )]d A f x g x x ? ?从而得到所求平面图形的面积[ ( ) ( )]d ba A f x g x x ? ??类似地,由左右两条曲线与及上下两条直线 y=d与y=c所围成的平面图形的面积为( ) x y ??( ) x y ??[ ( ) ( )]d dc A y y y ? ?? ??例 1 计算抛物线,所围成的图形的面积.? 2 y x ? 2 y x ?解作图,,则积分区间为[0,1]. 上下曲线分别为: 和 . 2, y x ? 2 y x ?( ) f x x ? 2 ( ) f x x ? 120 ( )d S x x x ? ??? 3 3 1 20 2 1 ( ) 3 3 x x ? ? 13 ?面积元素:2 d ( )d , S x x x ? ?例 2 计算抛物线与直线所围成的图形的面积. 22 y x ?4 y x ? ?解作图,(2,-2) 和(8,4) . 2 2 , 4, y x y x ???? ??选y为积分变量,则,所求图形面积为: [ 2,4] y ?? 242 ( 4 )d 2 y S y y ?? ??? 2 3 4 2 1 1 ( 4 ) 18 2 6 y y y ?? ???