高中数学——三角函数图像和性质讲义.docx

【讲义课题］:三角函数图像和性质 【考点及考试要求】
.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=cosx
y
y=tanx ।
:
' y=cotx
I 1
n\~it_2r
2 \ 2 」
_ .. 冗 . n 1 _
y=sinx 的递增区间是.|2kn ——,2kn +—（k=Z）,
2 2
1 二 3 二
递减区间是 |2kn + —,2kn +— i（k= Z） -
2 2
y =cosx的递增区间是 2kn —兀,2kn］（k w Z）,
递减区间是 2kn,2kn十几】（k w Z）,
y =tanx的递增区间是
.函数 y = Asin（ x ） B （其中 A 0, 0）
2 二 一 , ■
取大值是A * B ,取小值是B - A ,周期是T =—,频率是f =—,相位是8x +中,
2 二
初相是中；其图象的对称轴是直线 gx + ?=kn +］（k w Z）,凡是该图象与直线 y = B的 交点都是该图象的对称中心。
.由y= sin x的图象变换出y=sin（ 3 x+邛）的图象一般有两个途径，只有区别开这 两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形，请切记每一个变换总是对字母 x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角 变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换 （伸缩变换）
中I个单位，再将图象上各点
先将y=sin x的图象向左（中>0）或向右（中< 0=平移|
1 " - ……
的横坐标变为原来的 一倍（co>0）,便得y=sin（ 3 x+中）的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
一一
先将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 一倍（« >0）,再沿x轴向左（5> 0）
co
或向右（中v 0=平移巴1个单位，便得y = sin（ 3 x+平）的图象。 co
.由y= Asin（ 3 x+中）的图象求其函数式：
，…… ……，、 呼
给出图象确定解析式y=Asin （cox+中）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（— —，
0）作为突破口，要从图象的升降情况找准..第一个零点的位置。
.对称轴与对称中心：
y=sinx的对称轴为x = k兀+，2 ,对称中心为（kn,0） k^Z；
y=cosx的对称轴为x = kn ,对称中心为（kn十-2,0）;
对于y =Asin（0x+4）和y = Acos（ox+e）来说，对称中心与零点相联系， 对称轴与最
值点联系。
.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意
A、co的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数 ，并且在同一单调区间；
.求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“ y = Asin（cox +鲂、y = Acos&x +©） ”的形式，在利用周期公
式，另外还有图像法和定义法。
.五点法作y=Asin （cox+中）的简图：
五点取法是设x=cox+中，由x取0、— >兀、—> 2兀来求相应的x值及对应的y值,
再描点作图。
题型1:三角函数的