函数的单调性.ppt

函数的单调性与导数
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，
　(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
　.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是减函数
此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
　值，且x1< x2.
(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)，
那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
那么如何求出下列函数的单调性呢?
发现问题：用单调性定义讨论
函数单调性虽然可行，但十分
麻烦，尤其是在不知道函数图
=x3+2x2-
为简捷的方法呢？下面我们通
过函数的y=x2－4x＋3图象来考
察单调性与导数有什么关系：
这表明：导数的正、负与函数的单调性密
切相关
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
如果f′(x)<0,
则f(x)为增函数;
则f(x)为减函数.
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b