根号2是无理数.doc

有理数部分题目梳理
一、 ？如何证明。
（1） 是使得成立的正数。
（2）证明：（反证法）假设 是有理数，那么 （m、n互质）
有
若，则， ， 满足条件，
若，显然
同样，对m进行讨论：
若，则满足条件，
若m=2p+1 ，由奇数的平方为奇数可知：
当取 时，m、n不互质，不是既约分数，与是有理数矛盾。
假设不成立。是无理数。
2、、是无理数吗？与的证明方法是否一样呢？
证明：（1）（反证法）假设是有理数，则存在互质的两个数m、n，使得：
， ，
令， 即 3是m、n的公因子，与m、n
互质矛盾，假设不成立，即是无理数。
(2)（反证法）假设是有理数，那么（m、n互质）
有， 即：
由于中含有因子2，那么n必然也含有因子2，从而令
=，，中也含有因子2，从而m含
有因子2，即2是m、n的公因子，这与p、q互质矛盾，所以是无理数。
3、是无理数吗？，那么该如何证明呢？
证明：（1）假设是有理数，令，则，由
令，有，p、q有公因子2与p、q互质矛盾。
假设不成立，即是无理数。

证明：（2）令 则，
， 即 ，
假设x是有理数，则是有理数，与是无理数矛盾
假设不成立，即是无理数。

以上用到的结论：若n是正整数，且不是完全平方数，则是无理数。

推广：若a、b是正有理数，且是无理数，则是无理数。
但无理数+无理数不一定是无理数，如：
3、 证明是无理数。
证明： 假设 为有理数，即 = （m、n为互质的自然数），
则
由算数基本定理得：存在和，使得
，其中和都是素数，
不妨设，，由于299==，
一定有，即存在k,l ，使得，
因此是m、n的公因数，这与m、n互质矛盾。
假设不成立，是无理数。

二、为什么所有的分数都是有限小数或无限循环小数？分数如何变成小数，小数是怎么化为分数的？
答：所有的分数都可以写成的形式，的结果一定是个小数，但是小数点后的位数可能是有限的，也可能是无限的。若小数点后的位数是有限的，那么是有限小数，例如：。

如果小数点后的位数是无限的，那么它一定是无限循环小数。
思考：一个整数m除以一个整数n，余数肯定比除数n小，除不断就在余数后面加个0继续除以n。不管你除多少次，每次除得的余数肯定比n小。而n是个有限的整数，