高等数学教案4-课件（PPT演示稿）.ppt

第四节无穷小量和无穷大量主要内容 1、无穷小量 2、无穷大量一、无穷小量 1、定义:。例如: ,0 sin lim 0??x x?.0 sin 时的无穷小是当函数??xx,0 1 lim ???x x?. 1 时的无穷小是当函数???xx,0 )1( lim ????n nn?.} )1({ 时的无穷小是当数列????nn n 注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2) f(x) 是否是无穷小与其自变量的变化趋势有关; (3)零是可以作为无穷小的唯一的数. 2、无穷小与函数极限的关系: 证必要性,)( lim 0Axf xx??设,)()(Axfx???令,0)( lim 0???x xx 则有).()(xAxf????充分性),()(xAxf???设,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx??))(( lim )( lim 00xAxf xxxx?????则)( lim 0xA xx????.A?定理 1 ),()()( lim 0xAxfAxf xx??????其中)(x?是当0xx?:(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ).(,)( )(2 0xAxf xxf?误差为式附近的近似表达在)给出了函数(?注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小, 时例如 n n 1,,??.1 1 不是无穷小之和为个但n n 3、无穷小的运算性质: 定理 2 在同一过程中, 3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2 在同一过程中, 4 xx xx 1 arctan , 1 sin ,0, 2时当例如?都是无穷小二、无穷大量绝对值无限增大的变量称为无穷大量. 简称无穷大。特殊情形:正无穷大,负无穷大. ))( lim ()( lim )()( 0 0 ????????????xfxf x xxx xx或.)( lim??xf即注意(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (4)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..)( lim 2 0 认为极限存在)切勿将(???xf xx(3) f(x) 是否是无穷大与其自变量的变化趋势有关; ., 1 sin 1,0, 但不是无穷大是一个无界变量时当例如 xx yx??),3,2,1,0(2 2 1)1(??????kk x k取,2 2)( ????kxy k.)(,Mxyk k?充分大时当),3,2,1,0(2 1)2(???????kk x k取,,????kxk 充分大时当??????kkxy k2 sin 2)(??不是无穷大. 无界,