数学实验综合实验报告.doc

数学实验综合实验报告
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一、实验目的:
1、初步认识迭代,体会迭代思想的重要性。
2、通过在mathematica环境下编写程序,利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用mathematica编程生成分形图形的基本方法,
在欣赏由mathematica生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性,激发读者探寻科学真理的兴趣。
从一个简单的二次函数的迭代出发,利用mathematica认识混沌现象及其所
蕴涵的规律。
5、、进一步熟悉Mathematic软件的使用,复习总结Mathematic在数学作图中的应用,为便于研究数学图像问题提供方便,使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。
6、在学习与运用迭代法求解过程中,体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。
二、实验的环境:
学校机房,mathematica4环境
三、实验的基本理论与方法:
1、迭代(一)—方程求解
函数的迭代法思想:
给定实数域上光滑的实值函数以及初值定义数列
,, (1)
,,称为的一个迭代序列。
(1)方程求根
给定迭代函数以及初值利用(1)迭代得到数列,、如果数列收敛到某个,则有
、 (2)
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即就是方程的解。由此启发我们用如下的方法求方程的近似解。
将方程改写为等价的方程
, (3)
然后选取一初值利用(1)做迭代。迭代数列收敛的极限就就是方程的解。
为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程的某一解的条件就是迭代函数在解的附近的导数将的绝对值尽量小,因此迭代方程修订成
(4)
选取使得在解的附近尽量小、 为此, 我们可以令
得
、
于就是
、
特别地,如果取, 则可得到迭代公式
(5)
(2)线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论
给定一个元线性方程组
(6)
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或写成矩阵的形式
(7)
其中就是阶方阵,及均为维列向量、
熟知,当矩阵A的行列式非零时,以上的方程组有唯一解、如何有效,快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务、而迭代法常常就是求解这些问题的有效方法之一。
用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法就是类似的。将方程组(7)改写成
(8)
其中就是阶矩阵,就是维列向量、 任意给定初试向量,由迭代
(9)
确定向量序列 如果收敛到向量,则有
则为方程组(7)的解、
假设矩阵A的对角元素。令,则我们可以将方程(7)改写成

或
(10)
由上式即可确定一种迭代格式。
如果即将矩阵分解为,其中分别为下三角阵与上三角阵,则(10)可以进一步改成

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或
(11)
上式又可确定另一种迭代格式。
(3)非线性方程组的迭代求解理论
类似于单变量的方程组及线性方程组的求解,用迭代方法可以