利用均值不等式证明不等式.docx

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1,利用均值不等式证明不等式
Hn
(1)均值不等式：设 a1,a2，…，an是n个正实数，记
an
Gn = ［眄2 •••&
al a2
al a2 …an
2 2 2
q _ a1 a2 an
它们分别称为n个正数的调和
平均数，几何平均数,
算术平均数,
平方平均
数。有如下关系
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Hn <Gn < An E Qn .等号成立的充要条件是 a1 = a2 = ''' = an °
先证An -Gn
证法一：用数学归纳法证明：A之Gn.
2
- -0,A — Gn成立。
Ak
_1.
k 1 c k 1
A 1 Gk 1

Ak 一 Gk
假设：n=k22时成立，即有:A
G：
Ak 1 Ak n=k+i时：只需证：等一条仁
Gk 1 Gk
不妨设：0<a1 -a2 -||l -an
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Aki1 =
rk+ 、k 书
z ai
k +1
k k z , i 3
k
ai
(k 1)
k
二 ai
k 1
、ai
i 3
k 1
Lk书
Z ai
k +1
k
、ai
-(k 1-1)Jy-
-C01
ai
\k
k
二 ai i T
k
+ck书
k
ak 1 — Ak ak 1.
k
,二 ai i T
k
、k
/ kH1
z ai
iT
k + 1
k
二 ai iT
k
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由a - Ak -ak1-
k 1
GV所以对n = k-1时亦成立。
Gk
证法二：用反向数学归纳法证明： An - Gn.
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当 n = 2P寸,An - Gn -
(a1 -，.a2)
-0, An - Gn成乂。
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假设：n=2k(+)时成立,
当n=2k+时:
2k + 1
'、ai
A _ = —
A2k+1 2卜+1
2k 2k + 1
.二 ai
2k
,i =2k+1
2k
-2 —
] ai = G2k+1 .
i 4
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即，对Vk w N+,当n=2k时，结论成立。
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假设门工+1 >3 (twN+)时成立。则n=t时有:
化简即得：A々G,即n=t时亦成立。所以原不等式成立。
证法三:
不妨设：0<& < a2 - HI - an
令：bk
k
•二：ai
■^^,则有：bk 之byA0.
k
bk
「|” bkk；) .(bk-bk」)kbk]
bk
即iea-(k-1g，亦即：/--风.
且：kQ -(k -1)bk」=ak.(n -k -2),b1 =a1.
一 一 n bk
An 二bn 二b k"7
y bk：
川【[kbk -(k -1)bk/]=一：ak =G：
k =2
k=1
,Gn wAn等号成立当且仅当：a=a2=|||二ai
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追 求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1:求证下列不等式:
1
(1) a + >3, (a >b >0)
a -b b
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logn n -1 logn n 1 ：：1,n 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
x+y+y^xy + yz+zx >xyz(x+y+z),其中 x,y, z>0
…，1 1
证明 1 a = a — b b -
,33 a -b b ——1——3 a -b b
,.一，，. 1 一 一 一
当且仅当a — b = b = >0,即a=2,b=1取等节
a -b b
证明(2) . log。—nl logn-n-r
logn n -1 logn n 1
2
1 - 2 1 - 2
=2 logn n -1 < 2logn n =1
logn n -1 logn n 1 ：1, n 2
证明(3) x4 + y4 之2Jx4y4 =2x2y2