“直线与平面”错解点击.doc

“直线和平面”错解点击
在“直线和平面”内容中，为了研究直线和直线之间，直线和平面之间，平面和平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线和平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错．
下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力．
例1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．
错解 如图, 对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．
在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O，
∴点P在平面上的射影在BC上．
点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉．
正解 AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足．
则BC是AC在平面上的射影．
在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O．
∴AB⊥， ∴PO ∥AB，
∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC，
∴ O∈BC．
例2 已知、是两个不重合的平面，
①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面；
②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面；
③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面；
以上正确命题的个数为( )．
(A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
错解 三个命题都正确，选(D)．
点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1和图2的情况，而忽略了图3和图4的情况．
(1) (2) (3) (4)
而判断③是真命题，则是对平面和平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”．
正解 因为三个命题都不正确，所以选(A)．
例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，和F1G2是异面直线．
错证1 (直接法)
①连BD，由题设=，=，
∴ E1H1和BD不平行，设其交点为P，
则P∈BD．
∵ ==, 则