实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量.docx

实验报告用动态法测定金属的杨氏模量物理科学与技术学院 13 级弘毅班吴雨桥 20********** 【实验原理】对于长度 L ?直径 d 、两段自由地做微小横振动的均匀细棒,其振动满足方程+=0 式中, ρ为棒的密度, S 为棒的截面积, J= dS 称为惯量矩(取决于截面的形状),E 为杨氏模量, y 为棒振动的位移, x 为位置坐标, t为时间变量。用分离变量法解方程,令 y(x,t)= X(t)T(t ) 代入方程,有= 解得该振动方程的通解为 y(x,t)=(B 1 ch Kx+B 2 shKx+B 3 cosKx+B 4 sinKx ) Acos ( ω t+ φ) 式中ω= 称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数 K, 带入特定截面的惯量矩 J ,就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样的节点( 处在共振状态的棒中, 位移恒为零的位置) 附近, 则棒的两端均处于自由状态。此时其边界条件为自由端横向作用力 F 和弯矩 M 均为零,即 F=- =- EJ=0 弯矩 M=EJ =0 故有| x=0 =0 | x=l =0 | x=0 =0 | x=l =0 将通解代入边界条件,可以得到 cosKl*chKl=1 ,可用数值解法求得本征值 K 和棒长 l 应满足 Kl=0 , , , , ,。。。一般将 K 1 l= 所对应的频率称为基频频率。试样在做基频振动时,存在两个节点,它们的位置距离端面为 和 处。将第一本征值 K 1= 代入频率表达式, 得到自由振动的固有圆频率(基频) ω= 解出杨氏模量 E=* 对于直径为 d 的圆形棒,惯量矩 J= dS=S( = 代入上式可得 E= 式中, l 为棒长, d 为棒的直径, m 为棒的质量, f 为试样共振频率。在国际单位制中杨氏模量 E 的单位为 N. 实际上, E 还和试样的直径与长度之比 d/l 的大小有关,所以乘以一个修正因子 R ,则有 E= R 当 l?d 时, R≈1 ;当 l?d 不成立时,圆棒的 R 可查表试样 R与 d/l 的关系 d/l R 当外力频率达到共振频率ω r 时,另一悬线处会接收到最大振幅, 而固有频率与共振频率之间的关系为 f r == ,为阻尼系数。对于一般的金属材料, β的最大值只有ω的 1% 左右,所以可用 f r 代替 f 计算。实验中, 由于细丝对试样的阻尼, 所检测的共振频率大小是随悬挂点的位置而变的。理论上, 测量试样的基频振动时, 悬挂点应在节点处,即悬点距端点 和 处。但是在这种情况下,棒的振动无法被激发, 振幅为零, 在示波器上只能看到一条直线。欲激发棒的振动,悬点必须离开节点位置,故采用外延法测量试样的基频, 即测量节点周围的点的振动频率,利用他们作图延伸至节点位置,从图像上得到试样的基频。( 外延法: 指所需要的数据在测量范围之外, 一般较难测量, 为了求得这个值, 利用已得的数据绘制出曲线, 再将曲线按原规律延长到待求值范围, 在延长线部分求得所需的值。此方法只适用于在所研究范围内没有突变的情况。) 【实验仪器】功率函数信号发生器、换能器( 两个) 、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等。本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的共振频率 f 。实验中采用悬挂法。由信号发生器输出的等幅正弦波信号, 加在换能器 1 上。通过换能器把电信号转变成机械振动,再由悬线(或支撑物)把机械振动传给试样, 使试样做横向振动。试样另一端的悬线( 或支撑物) 把机械振动传给换能器 2, 这时机械振动又转变成电信号。该信号输入示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时,试样不发生共振, 示波器上几乎没有波形和波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时, 试样发生共振, 示波器的波形突然增大, 这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率 f 。将此 f 值代入, 即可计算出该温度下的杨氏模量。若将试样置于可控温加热炉中, 不断改变加热炉的温度, 即可测出不同温度下的杨氏模量。【实验内容】 1. 测量试样的长度 l 、直径 d 和质量 m 用米尺测量试样的长度 l; 用游标卡尺测量试样的直径 d( 注意在不同的部位和不同的方向多次测量); 用电子天平称量试样的质量 m。为提高测量精度,以上各量至少测量 5 次,记入表中。 2. 测量