利用导数判断函数单调性方法.doc

利用导数判断函数单调性方法.doc利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法
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利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：
设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为增函数；
如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数。如果 f ( x) 0，则 f ( x) 为常数。
要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两
点：
导数与函数的单调性的三个关系
我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数 y f ( x) 在某个区间内可导。
1． f ( x) 0 与 f ( x) 为增函数的关系。
由前知， f ( x) 0 能推出 f (x) 为增函数，但反之不一定。如函数 f (x) x3 在 ( , ) 上单调递增，但 f (x) 0 ，∴ f ( x) 0 是 f (x) 为增函数的充分不必
要条件。
2． f (x)
0 时， f ( x) 0 与 f (x) 为增函数的关系。
若将 f (x)
0 的根作为分界点，因为规定
f ( x)
0
，即抠去了分界点，
现在 f ( x) 为增函数，就一定有 f ( x) 0 。∴当 f ( x)
0
时， f ( x) 0 是 f (x) 为
增函数的充分必要条件。
3． f ( x)
0 与 f ( x) 为增函数的关系。
由前分析， f (x) 为增函数，一定能够推出
f (x)
0 ，但反之不一定，因
为 f ( x) 0 ，即为 f ( x) 0 或 f (x) 0 。当函数在某个区间内恒有 f ( x) 0 ，
则 f (x) 为常数，函数不具有单调性。 ∴ f ( x) 0 是 f (x) 为增函数的必要不充
分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中时期研究的重点，我们
一定要把握好以上三个关系，用导数判定好函数的单调性。因此新教材为

上咨询题，也简化了咨询题。 但在实际应用中还会遇到端点的讨论咨询题，
专门是研究以下咨询题时。
二．函数单调区间的合并
函数单调区间的合并要紧依据是函数 f ( x) 在 (a, b) 单调递增，在 (b, c) 单调递增，又知函数在 f (x) b 处连续，因此 f (x) 在 (a, c) 单调递增。同理减区
间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就能够合并为一个区间。
【例】用导数求函数 f ( x)
x3 （ x R ）的单调区间。
解：（用第一种关系及单调区间的合并） f (x) 3x 2 ，当 3x 2
0 ，即 x
0
或 x 0时，
f ( x)
0
∴
f (x)
在
(
,0) ( 0,
)
上为增函数，又∵ f (x)
x
3
在 x
0