关于集合可数的若干证明方法 毕业论文.doc

关于集合可数的若干证明方法[摘要] 本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法, 这些方法是:一. 依据定义构造无穷序列证明集合可数;二. 依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三. 通过集合之间取并集来证明有些集合可数;四. 用数学归纳法证明集合可数;五. 运用转化的思想. 通过以上方法的讨论, 本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.[ 关键词] 可数集;1-1 映射;无穷序列 1引言集合是整个数学理论的基础, 可数集是实变函数中的一个最基本的概念, 对后续的测度论以及 Lebesgue 积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在数学的各个分支中也有广泛的应用. 基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要, 虽然可数集合数目众多, 种类繁杂, 但集合可数的证明方法无分就几类. 本文将主要介绍其中常用的五种方法. 作者通过阅读大量的参考文献, 从中搜集了大量的习题, 通过认真演算, 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献, 并对这些证明方法做了系统的归纳和总结. 由于本文的主要内容是介绍解题方法, 所以, [1]设, A B 是两个集合, 如果存在二者元素之间的一个对应关系?,使A 中任意元素 x , 通过?都恰与 B 中某一个元素 y 对应,而B 中任意的元素 y 也一定是 A 中某一 x 通过?在B 中的对应元素, 则我们就说 A 和B 是对等的. 记为 A B . 定义 [2] 凡与自然数集对等的集合称为可列集. 可列集与有限集统称可数集. 定理 [3] (Cantor — Bernstein) 若* * , X Y Y Y X X ? ?,则 X Y . 定理 [4] 任何无穷集合必有可数子集. 基于以上两个定理, 我们给出集合可数的如下两个充分条件. 定理 设A 为任意无穷集,X 为一可数集, 且存在满射: f X A ?,则A 可数. 证明由已知必存在集合 M X ?, 使得 f 在M 上的限制是一个双射, 即存在集合 M X ?,使得: f M A ?为一个双射, 也就是说 A M X ?. 又由定理 ,A 必有可数子集, 即存在 B A ?,且 B X , 也就是说 X B A ?. 从而由定理 知 A X ,又 X N ,故 A N 即A 可数. 定理 设A 为任意无穷集,X 为一可数集, 且存在单射: f A X ?,则A 可数. 证明由已知( ) f A X ?,而: ( ) f A f A ?显然为一双射,故( ) A f A X ?. 由定理 必有可数子集, 即存在 B , 使得 X B A ?, 因此由定理 知 A X ,即A 可数. 定理 [5]若, A B 都是可数集合,则 A B ? 1页用数学归纳法不难把定理 的结论推广到 n 个集合的情形,即推论 [1] 若对于每一个, (1 ) i i i n A ? ?是可数集合,则1 niiA ??是可数集合. 下面的定理