抛物线上的张角问题.docx

P
1．我们说，在平面上，已知两个定点 A、 B，点 P 为平面上一点，从点 P 处观测 A、 B 两点所成的角叫张角．
A B
2．若线段 AB 为定长的线段，点
P
C 为线段 AB 所在的直线外一点，
连接 AC， BC，我们称∠ ACB 为线段 AB 的张角． AB 叫做张角∠ ACB 所对的张边．
A
B
一、问题的提出：
y=f(x)
1．问题的提出：
P
在平面直角坐标系中，已知
A、B 两定点，求具有某种属性的点
P(如 P 在某
函数图象上，又或点
P 的坐标具有某种关系 )，使∠ APB 等于已知角 ．
B
A
y= f(x)
2．问题解决的方法与步骤：
下面以点 P 在某函数 y＝ f(x)的图象上为例来说明．
特别的，当 AB 与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决．
(1) 以 AB∥ x 轴为例来说明
在射线 AB 上取点 D，使 CD
PC
，则∠ ADP ＝∠ APB
tan
则△ APD ∽△ ABP ，则 PA2
AB AD．
设 P(m， f(m))，所以 C(m， yA )
2
所以 (m xA ) [ f (m)
解方程可求出 m 的值， P 点可求．
若点线段 AB 与 x 轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角．
y=f(x)
E C P D F

P
A C B D
yA ]
2
( xB xA )( xD xA )
y=f(x)
P
α
α α
α
B
A

l
A

F
α
D
B
α E
C l
图( 1) 图(2)
如图：过点 P 作 l∥ x 轴，再分别由 A ， B 向 l 引垂线，垂足为 C， D，在 DC 延长线上取点 E，使
CE
AC
BD
，则∠ AEP＝∠ BFP ＝∠ APB．
， 在 CD 延长线上取点 F ，使 DF
tan
tan
可证△ AEP∽△ PFB 则 PE
AE
所以 PE PF
AE BF
BF
PF
设 P(m， f(m))，则 PE，PF ，与 AE 、BF 均可用含 m 的代数式表示，则方程可解，点
P 的坐标可解．
3．对问题的解决提出质疑：
以上问题可以过点 P 作 x 轴或 y 轴的平行线 l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，
依然设 P(m，f(m)) ，
所以 C(m， yA )，所以 ( m
xA ) 2
[ f (m)