抛物线上的张角问题.doc

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1．我们说，在平面上，已知两个定点A、B，点P为平面上一点，
从点P处观测A、B两点所成的角叫张角．
2．若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，
连接AC，BC，我们称∠ACB为线段AB的张角．AB叫做张角∠ACB
所对的张边．
问题的提出：
1．问题的提出：
在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某
函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使∠APB等于已知角?．
2．问题解决的方法与步骤：
下面以点P在某函数y＝f(x)的图象上为例来说明．
特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决．
(1)以AB∥x轴为例来说明
在射线AB上取点D，使，则∠ADP＝∠APB
则△APD∽△ABP，则．
设P(m，f(m))，所以C(m，)所以
解方程可求出m的值，P点可求．
(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：
方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角．
如图：过点P作l∥x轴，再分别由A，B向l引垂线，垂足为C，D，在DC延长线上取点E，使
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，在CD延长线上取点F，使，则∠AEP＝∠BFP＝∠APB．
可证△AEP∽△PFB则所以
设P(m，f(m))，则PE，PF，与AE、BF均可用含m的代数式表示，则方程可解，点P的坐标可解．
3．对问题的解决提出质疑：
以上问题可以过点P作x轴或y轴的平行线l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m))，所以C(m，)，所以，解方程可求出m的值，P点可求．
但当y＝f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!
4．抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线y＝f(x)上的两定点．
点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角?，求点P的坐标．
显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法．
为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题．
问题准备
解直角三角形的张角对张边的问题
我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角)三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”．
如图，在△ABC中，∠BAC＝?，AD⊥BC，垂足为D，设BD＝a，CD＝b，求高AD．
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如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝45°，
若BD＝3，CD＝2．求AD的长．
思考一．根据图形变换，转换特殊模型．
解法1：把△ABD沿AB翻折得到△ABE，把△ACD沿AC翻折得到
△ACF．∴△ABE≌△ABD；△ACF≌△ACD．
∴AE＝AD＝AF，BE＝BD＝3，CF＝CD＝2．
∠E＝∠F＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝