高等数学D12_6可降阶高阶微分方程.ppt

可降阶高阶微分方程
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第六节
一、型的微分方程
二、型的微分方程
三、型的微分方程
第十二章
一、
令
因此
即
同理可得
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解.
型的微分方程
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例1.
解:
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例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动,
在开始时刻
随着时间的增大, 此力 F 均匀地减
直到 t = T 时 F(T) = 0 .
如果开始时质点在原点,
解: 据题意有
t = 0 时
设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .
小,
求质点的运动规律.
初初速度为0,
且
对方程两边积分, 得
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利用初始条件
于是
两边再积分得
再利用
故所求质点运动规律为
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型的微分方程
设
原方程化为一阶方程
设其通解为
则得
再一次积分, 得原方程的通解
二、
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例3. 求解
解:
代入方程得
分离变量
积分得
利用
于是有
两端再积分得
利用
因此所求特解为
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例4.
绳索仅受
重力作用而下垂,
解: 取坐标系如图.
考察最低点 A 到
( : 密度, s :弧长)
弧段重力大小
按静力平衡条件, 有
故有
设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,
问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
M 点受切向张力T
两式相除得
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则得定解问题:
原方程化为
两端积分得
则有
两端积分得
故所求绳索的形状为
悬链线
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三、
型的微分方程
令
故方程化为
设其通解为
即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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