证明四点共圆的方法.pdf

高中数学证明四点共圆的常见方法
思路一：先从四点中任选出三点作一圆，然后证明第四点也在这个圆上；
思路二：直接证明这四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆；
思路三：运用有关的定理或结论
（1）共斜边的两个直角三角形，它们的四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
注意，以下涉及到平面四边形的都指的是凸四边形，凹四边形结论不成立。
（3）对于凸四边形 ABCD，对角互补则四点共圆。（如下图 1）
（4）凸四边形的一个外角等于其内对角，则四边形的四个顶点共圆。
（5）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD，其对角线 AC、BD 交于点 P，若
AP PC  BP  PD ，则 A、B、C、D 四点共圆。（如下图 2）
（6）割线定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD，其边的延长线 AB、CD 交于点 P，若
PA PB  PC  PD ，则 A、B、C、D 四点共圆。（如下图 3）
（7）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形 ABCD，若 ABCD  AD BC  AC  BD ，则 A、
B、C、D 四点共圆。
C C
D D C
D
P P
A A A
B B B

图（1） 图（2） 图（3）
下面用反证法简单证明性质（3），即：对于凸四边形 ABCD，对角互补 四点共圆。要说
明的是，反证法本身也是证明四点共圆的一个有效方