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证明四点共圆
第1篇：证明四点共圆
方法1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 方法3
方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为π,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，。










角CBE=角ADC（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割线定理）
EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）
证明四点共圆基本方法：
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。四点共圆的性质：（1）同弧所对的圆周角相等（2）圆内接四边形的对角互补
（3）圆内接四边形的外角等于内对角
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
四点共圆的判定定理：
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）










方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那末这四点共圆）
我们 可都可以用数学中的一种方法；反证法开进行证明。
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=π
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
第4篇：四点共圆
四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．