微积分证明不等式方法.doc

word
word
1 / 21
word
用微积分理论证明不等式的方法
省扬中高级中学 卞国文 212200
高等数学中所涉与到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方好与前者相似．
微积分是高等数学中的重要容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，假如能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．
一、用导数定义证明不等式法
1．证明方法根据－导数定义
导数定义：设函数在点的某个邻域有定义，假如极限存在，如此称函数在可导，称这极限为函数在点的导数，记作．
2．证明方法：
(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合条件去研究．
3．例
例1:设函数，其中都为实数，为正整数，对于一切实数，有，试证：．
分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：．于是问题可以转化为证明．
证明：因．如此．利用导数的定义得：
word
word
2 / 21
word
．由于．
所以．即．
用导数定义证明不等式，此方法得适用围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．
二．用可导函数的单调性证明不等式法
－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理
定理一：假如函数在可导，如此在递增〔递减〕的充要条件是：
.
定理二：设函数在连续，在可导，如果在〔或〕，那么在上严格单调增加〔或严格单调减少〕.
定理三：设函数在可导，假如〔或〕，如此在严格递增〔或严格递减〕.
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
〔1〕构造辅助函数，取定闭区间；
△如何构造辅助函数？
①利用不等式两边之差构造辅助函数〔见例2〕；
②利用不等式两边一样“形式〞的特征构造辅助函数〔见例3〕；
③假如所证的不等式涉与到幂指数函数，如此可通过适当的变形〔假如取对数〕将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数〔见例4〕.
(2)研究在上的单调性，从而证明不等式.
word
word
3 / 21
word
例2：证明不等式：.
分析：利用差式构造辅助函数，如此将要证明的结论转化为要证，而，因而只要证明.
证明：令，易知在上连续，且有，由定理二可知在上严格单调增加，所以由单调性定义可知，
.
例3：求证：.
分析：不等式两边有一样的“形式〞:：.
证明：，且有
.如此由定理二可知在，有，得到
word
word
4 / 21
word
，所以原不等式成立.
例4：证明：当时，.
分析：此不等式为幂指数函数不等式，假如直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到，化简得，在此根底上可利用差式构造辅助函数：
，因，因而只要证明即可.
证明：分别对不等式得两边取对数，有，化简有：
.设辅助函数，，易知在上连续，也在上连续，因，根据定理二，得在上严格单调增加，，且，根据定理二可知在上严格单调增加，所以，即，因此，即.
利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间的符号来判断在闭区间上的单调性.
word
word
5 / 21
word
三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法
1．证明方法根据－极值的充分条件定理
定理四〔极值的第一充分条件〕　　设在连续，在可导，
〔i〕假如当时，,当时，,如此在取得极大值;
(ii) 假如当时，,当时，,如此在取得极小值.
定理五〔极值的第二充分条件〕　设在的某领域一阶可导，在处二阶可导，且，,(i)假如，如此在取得极大值；(ii)假如，如此在取得极小值.
，，如此此最值也是极