微积分证明不等式方法.doc

用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学卞国文212200高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,、-导数定义导数定义:设函数在点的某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在可导,称这极限为函数在点的导数,:(1)找出,使得恰为结论中不等式的一边;(2):设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证:.分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:.::.,此方法得适用范围不广,,因此可利用导数的定义将其形式转化,-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)的充要条件是:.定理二:设函数在连续,在内可导,如果在(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少).定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减).上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,(1)构造辅助函数,取定闭区间;△如何构造辅助函数?①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数(见例3);③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).(2)研究在上的单调性,:证明不等式:.分析:利用差式构造辅助函数,则将要证明的结论转化为要证,而,:令,易知在上连续,且有,由定理二可知在上严格单调增加,所以由单调性定义可知,:求证:.分析:不等式两边有相同的“形式”:::,,有,得到,:证明:当时,.分析:此不等式为幂指数函数不等式,若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数,更很难判断其在上的单调性,可对不等式两边分别取对数得到,化简得,在此基础上可利用差式构造辅助函数:,因,:分别对不等式得两边取对数,有,化简有:.设辅助函数,,易知在上连续,也在上连续,因,根据定理二,得在上严格单调增加,,且,根据定理二可知在上严格单调增加,所以,即,因此,,不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,、函数的极值与最大、-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件) 设在连续,在内可导,(i)若当时,,当时,,则在取得极大值;(ii)若当时,,当时,,(极值的第二充分条件) 设在的某领域内一阶可导,在处二阶可导,且,,(i)若,则在取得极大值;(ii)若,,,(1)构造辅助函数,并取定区间.△如何构造辅助函数?①当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数(见例5);②当不等式两边含有相同的“形式”时,可利用此形式构造辅助函数(见例6);③当不等式形如(或)(为常数)时,可设为辅助函数(见例7).(2)求出在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法:(1)求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点;(2