微积分证明不等式方法.doc

用微积分理论证明不等式得方法江苏省扬中高级中学卞国文212200 高等数学中所涉及到得不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)与数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数得性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式得特点,巧妙得构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数得问题,,以它为工具能较好得研究函数得形态,有些常规方法难于证明得不等式,若能根据不等式得结构特征,巧妙得构造函数,将不等式问题转化为函数得问题,利用微积分理论研究函数得性质,、-导数定义导数定义:设函数在点得某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在可导,称这极限为函数在点得导数,:(1)找出,使得恰为结论中不等式得一边;(2):设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证:.分析:问题中得条件与结论不属于同一类型得函数,如果能找出它们之间得关系,无疑能帮助解决此题,可以瞧出:.::.、适用范围用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,,因此可利用导数得定义将其形式转化,、证明方法根据-可导函数得一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)得充要条件就是:、定理二:设函数在连续,在内可导,如果在内(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少)、定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减)、上述定理反映了可导函数得一阶导数符号与函数单调性得关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上得单调性、2、证明方法(1)构造辅助函数,取定闭区间;△如何构造辅助函数?①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);②利用不等式两边相同“形式”得特征构造辅助函数(见例3);③若所证得不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当得变形(若取对数)将其化为易于证明得形式,再如前面所讲那样,根据不等式得特点,构造辅助函数(见例4)、(2)研究在上得单调性,从而证明不等式、3、例例2:证明不等式:、分析:利用差式构造辅助函数,则将要证明得结论转化为要证,而,因而只要证明、证明:令,易知在上连续,且有,由定理二可知在上严格单调增加,所以由单调性定义可知,即、因此、例3:求证:、分析:不等式两边有相同得“形式”::试构造辅助函数、利用定理二与在在上得单调性证明不等式、证明:设辅助函数、易知在上连续,且有、则由定理二可知在上严格单调增加、由,有,得到,所以原不等式成立、例4:证明:当时,、分析:此不等式为幂指数函数不等式,若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数,更很难判断其在上得单调性,可对不等式两边分别取对数得到,化简得,在此基础上可利用差式构造辅助函数:,因,因而只要证明即可、证明:分别对不等式得两边取对数,有,化简有:、设辅助函数,,易知在上连续,也在上连续,因,根据定理二,得在上严格单调增加,所以、又由在上连续,且,