法向量求二面角.ppt

A
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.
给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.
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第一页，共18页。
平面的法向量：
注意：
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求法向量的步骤：
第三页，共18页。
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例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），
设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),
由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得
解得
取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)
A
A
B
O
z
y
A1
C1
B1
A
x
C
D
D1
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二面角的平面角
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
复习：
二面角的范围：
第六页，共18页。
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法向量法
求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.
二面角的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补。
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四、教学过程的设计与实施
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果．
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例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小
A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
(2)
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A
D1
C1
B1
A1
N
M
F
E
D
C
B
x
y
z
解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2） 则MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),
EFn=0
NFn=0
{
-x+y-2z=0
-2z=0
则{
{
x=y
z=0
令x=y=1,则n=(1,1,0)
2
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