高考数学中的内切球和外接球问题附习题.doc

高考数学中的切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的接多面体,,是立体几何的一个重点,也是高考考察的一个热点. ,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,那么该球的外表积为______________ ..
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,假设该正方体的外表积为,那么该球的体积为______________..
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,那么此球的外表积为..
例4、各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,那么这个球的外表积为〔〕.C
A. B. C. D.

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,那么这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为,高为,那么有
∴正六棱柱的底面圆的半径,球心到底面的距离.∴外接球的半径. 体积:.
小结此题是运用公式求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 假设三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,那么其外接球的外表积是_______________..
例3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,那么其外接球的外表积是.
故其外接球的外表积.
小结:一般地,假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,那么就可以将这个三棱锥补成一个长方体,,那么有.
出现"墙角〞构造利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为,那么体对角线长为,几何体的外接球直径为体对角线长即
练习:在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,假设该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的外表积。球的外表积为
例 6一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,那么此球的外表积为〔〕
A. B. C. D.
A. (如图2)
例7在等腰梯形中,,,为的中点,将与分布沿、向上折起,使重合于点,那么三棱锥的外接球的体积为〔〕.
A. B. C. D.
解析:〔如图3〕因为,,所以
图3
,即三棱锥为正四面体,至此,这与例6就完全一样了,应选C.
例8 〔2球的面上四点A、B、C、D,,,,那么球的体积等于.
解析:此题同样用一般方法时,需要找出球心,,由于,,联想长方体中的相应线段关系,构造如图4所示的长方体,又因为,那么此长方体为正方体,所以长即为外接球的直径,.〔如图4〕
图4
2、例9〔2008年高考题〕点A、B、C、D在同一个球面上,,,假