曲线积分的计算法.doc

曲线积分的计算法曲线积分第一类( 对弧长) 第二类( 对坐标)???转化定积分(1) 选择积分变量用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程( 2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终对弧长曲线积分的计算定理)( )()( )]( ),([),( ,],[)( ),( )( ),( ),( ,),( 22?????????????????????????????? dtttttfdsyxf tt tty txL Lyxf L且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1??一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf 特殊情形.)(:)1(bxaxyL????.)(1 )](,[),( 2dxxxxfdsyxf baL???????.)(:)2(dycyxL????.)(1] ),([),( 2 dyyyyf dsyxf dcL??????? 1. 基本方法).(, sin , cos :,象限第椭圆求???????? tby taxL xyds I L解dttbtatbtaI 22 20) cos () sin ( sin cos ??????dttbtattab 222220 cos sin cos sin??????? abdu uba ab 222) cos sin ( 2222tbtau??令.)(3 )( 22ba bab aab????例2 .)2,1()2,1(,4: , 2一段到从其中求???? xyL yds I Lxy4?解dy yyI 2 22)2 (1????.0?例3 )20(. , sin , cos :,??????????????的一段其中求kz ayax xyzds I 解????dkaka 222 sin cos ????? 1 222ka ka????例4 ?????????????.0 , , 2222 2zyx azyx dsxI为圆周其中求解由对称性,知. 222????????dszdsydsx?????dszyxI)(3 1 222故例1 对坐标的曲线积分的计算,),(),( ,0)()(, )( ),( ,),(, ),( ),(, ),( ),,( 22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设??????????? LdyyxQdxyxP tt tt BLALyxM tty txL LyxQyxP??????????dttttQtttP dyyxQdxyxP L )}( )]( ),([)( )]( ),([{ ),(),(???????????????且特殊情形.)(:)1(baxxyyL,终点为起点为?. )}( )](,[ )](,[{dxxyxyxQxyxP Qdy Pdx baL??????则.)(:)2(dcyyxxL,终点为起点为?. ]} ),([)(] ),([{dyyyxQyxyyxP Qdy Pdx dcL??????则例5 计算,dd)2(??? Lyxxya 其中 L 为摆线,) sin (ttax??) cos 1(tay??上对应 t从0到2?的一段弧. 提示:yxxyadd)2(??) cos