第0章（矢量分析）.pdf

1 标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第 0章矢量分析下页返回 Vector Analysis 两个常用矢量恒等式场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如,在直角坐标下: 标量场和矢量场] ) 2 ( ) 1 [( π 4 5 ) , , ( z y x z y x + + + ?= ?标量场 xyz z x xy z y x e e e + + = 2 ) , , ( A 矢量场如温度场、电位场、高度场等; 如流速场、电场、涡流场等。 Scalar Field and Vector Field 下页上页返回 const ) , , ( = z y x h 其方程为: 等高线(1) 标量场--等值线(面) 形象描绘场分布的工具——场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快? 下页上页返回 z A y A x A z y x d d d = = 三维场二维场 y A x A y x d d = 矢量线矢量场--矢量线 0 d = × l A 其方程为: 在直角坐标下: 下页上页返回 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 方向导数) cos , cos , (cos ) , , ( γβα???????????= ?? z y x l ), z , y , x ( ??????= ??? g ) cos , cos , (cos γβα= l e 设式中, , 分别是任一方向与 x , y , z 轴的夹角αβγ l ) , cos( | | l e g g e g = ?= ???则有: 当,最大 0 ) , ( = = l g e θ l ???下页上页返回????? grad = ?= ??+ ??+ ?? z y x e e e ——梯度(gradient ) ——哈密顿算子) z , y , x ( ??????= ? 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率,即最大方向导数。?标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的意义下页上页返回 2 例 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直; 数值等于该点位移的最大变化率; 指向地势升高的方向。下页上页返回例 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直; 数值等于该点的最大方向导数; 指向电位增加的方向。下页上页返回 矢量场的通量与散度 通量( Flux ) 矢量 E 沿有向曲面 S 的面积分 S E d ?∫= S Φ若 S 为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质: ∫?= S Φ S E d Flux and Divergence of Vector Φ> 0 ( 有正源) Φ< 0 ( 有负源) Φ= 0 ( 无源) 矢量场的通量 散度( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面Δ