3.3 泰勒公式.ppt.ppt

泰勒公式
Taylor’s Formula
多项式是最简单的函数(只涉及加法和乘法)
本节考虑用多项式去近似地表示一个复杂的函数。
在微分的讨论中,我们曾经用一次多项式(曲线的切线)近似地表示一个函数:
plot(x^4-x^2+2,x=1..4,axes=none,thickness=4);
tangent line
局部线性化
局部用切线代替曲线
例如:
令
这是 y = f(x) 在(x0, y0) 处的切线
在 x = x0 处,y = f(x) 与 y = p(x) 有:
(1)相同的函数值:f(x0) = p(x0)
( y = f(x) 与 y = p(x) 相交于点(x0, y0) )
(2)相同的导数值: f ’(x0) = p’(x0)
( y = f(x) 与 y = p(x) 相切于点(x0, y0) )
例如 f(x) = ex 与 p(x) = 1+x 在 x = 0 处:
(1)有相同的函数值: f(0) = 1 = p(0)
(2)有相同的导数: f ’(0) = p’(0) = 1
但是它们的关系只能密切到此:
因为它们没有相同的二阶导数:
f ’’(0)=1, p’’(0) =0
二阶导数不同说明:两条曲线在点(0, 1)处的弯曲方式不同。
再加一项: p(x) = 1+x+x2/2 (抛物线)
则 f(x) = ex 与 p(x) = 1+x+x2/2 在 x = 0 处:
(1)有相同的函数值: f(0) = 1 = p(0)
(2)有相同的导数: f ’(0) = p’(0) = 1
(3)有相同的二阶导数: f ’’(0) = p’’(0) = 1
二阶导数相同说明:两条曲线在点(0,1)处的弯曲方式也是相同的。
因此,y = 1+x+x2/2 比 y = 1+x 更接近函数 f(x) = ex