全国初中数学竞赛试题及答案.doc

全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题:(每题7分,共42分)
1、化简:的结果是__。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。
A、 B、 C、90 D、102
3、设r≥4,a=,b=,
c=,则下列各式一定成立的是__。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示, y
记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。
A、p>q B、p=q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。
2、x=___。
3、若实数x、y满足则x+y=__。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。
2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题:(每题7分,共42分)
1、化简:的结果是__。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解:

所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。
A、 B、 C、90 D、102
解:由题意得:
52+142-2×5×14×cosα=102+112-2×10×11×cos(180°-α)
∴221-140cosα=221+220 cosα
∴cosα=0
∴α=90°
∴四边形的面积为:5×7+5×11=90
∴选C
3、设r≥4,a=,b=,c=,则下列各式一定成立的是__。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1:用特值法,取r=4,则有
a=,b= ,
c=
∴c>b>a,选D
解法2:a=,
b=
c=

解法3:∵r≥4 ∴<1
∴
c=
∴a<b<c,选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
解:由图形割补