全国初中数学竞赛试题及答案(2001年)[1].doc

2001年全国初中数学联赛
一、选择题(每小题7分,共42分)
1、a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是( )
1999(B)2000(C)2001(D)不能确定
2、若,且有5a2+2001a+9=0及,则的值是( )
(A)(B)(C)(D)
3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为( )
(A)(B)(C)(D)
4、如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( )
(A) (B)
(C)∠ABD=∠ACB (D)
5、①在实数范围内,一元二次方程的根为;②在△ABC中,若,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和中,a,b,c分别为△ABC的三边,分别为的三边,若,则△ABC的面积S大于的面积。以上三个命题中,假命题的个数是( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( )
(A)(B)(C)(D)
二、填空题(每小题7分,共28分)
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为。
3、已知是正整数,并且,则= 。
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为。
解答题(共70分)
1、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。(20分)
证明:若取任意整数时,二次函数总取整数值,那么都是整数;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。(25分)
3、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是