数学实验综合实验报告.doc

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一、实验目的：
1、初步认识迭代,体会迭代思想的重要性。
2、通过在mathematica环境下编写程序,利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用mathem改规则是将每一条直线段用一条折线代替, 我们称为该分形的生成元. 分形的基本特性完全由生成元决定. 因此, 给定一个生成元, 我们就可以生成各种各样的分形图形。
复变函数迭代理论
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给定初始复数,考虑如下迭代：
其中为复数,为〔复常数。
对于给定的初始点,迭代序列有可能有界,也可能发散到无穷。令是使得迭代序列有界的所有初值构成的集合,即
={|迭代序列有界}
我们称在复平面上构成的集合为Julia集。对不同的参数, Julia集的形状也会不同。特别的,对应的Julia集为圆盘。
如果固定初值,则对不同的参数,迭代序列的有界性也不相同。令是使得迭代序列有界的所有参数构成的集合,即
={|迭代序列有界}
则称在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。
为了便于在计算机上绘制出Julia集和Mandelbrot集,我们令,则〔1式可改写为
记,则Julia集为使得序列有界的初始点构成的集合,Mandelbrot集为使得序列有界的参数构成的集合。Julia集与Mandelbrot集会是什么样子？如果没有计算机的帮助,你是很难想象的。下面,我们给出这两个集合的计算机作图方法。
Julia集绘制方法
〔1设定初始值,一个最大的迭代次数,图形的分辨率大小和使用的颜色数〔如〔或者给定灰度级。
〔2设定一个上界值。
〔3将矩形区域分成的网格,分别以每个网点,,,,
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作为初始值利用riter做迭代〔实际上,只需对满足的初始点迭代。如果对所有,,将图形的像素点用黑色显示。否则,如果从迭代的某一步开始有,则利用第种颜色显示相应像素〔或者用相应的灰度级显示。
Mandelbrot集绘制方法
〔1设定一个最大的迭代次数,图形的分辨率大小和使用的颜色数〔如〔或者给定灰度级。
〔2设定一个上界值。
〔3将矩形区域分成的网格,分别以每个网点,,,,作为参数值利用riter做迭代〔实际上,只需对满足的初始点迭代。每次得带的初值均为。如果对所有,,将图形的像素点用黑色显示。否则,如果从迭代的某一步开始有,则利用第种颜色显示相应像素〔或者用相应的灰度级显示。
四、实验的容和步骤：
练习1
给定初值及迭代函数,迭代n次产生相应的数列。
mathematica程序如下：
运行结果为：
练习2
设利用〔1做迭代得到序列
〔1写出序列的通项公式为：
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〔2在什么条件下,迭代〔1对任意的初值都收敛？
答：据几何级数的收敛性,当 时,迭代〔1对任意的初值都收敛。
〔3影响收敛性的主要量是什么？它与的一阶导数有什么关系？常数对迭代的收敛性有没有影响？收敛速度的快慢由什么量决定？
答：影响收敛性的主要量是a,它即为的一阶导数,常数b对迭代的收敛性没有影响,收敛速度的快慢由a和b共同决定。
〔4对于任意给定的线性方程,你是否可以将它改写成等价的形式使得迭代总是收敛？
答：对于任意给定的线性方程,我们总可以将它改写成等价的形式使得迭代总是收敛。
练习3
考察用迭代函数求解方程的解的情况。
〔1在同一直角坐标系中,画出及的图象。从图上观察,方
程有几个解？
mathematica程序如下：
运行结果为：
结果分析：通过观察函数图像可得有三个解。
〔2取初值做迭代,迭代序列是否收敛？如果收敛,它收敛到哪
一个解？取其他初值,观察迭代的结果。是否可以选取到非零的初值,使得迭代序列收敛到的解？
①初值,迭代20次产生的迭代序列
mathematica程序如下：
运行结果为：
结果分析：通过实验结果我们看到,。
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②取初值,迭代20次
运行结果为：
③取初值,迭代20次
运行结果为：
④取初值,迭代20次
运行结果为：
结果分析：由②③④可得尽管初值已经非常小了,但迭代结果却并不收敛于的解,因此我们得到一个结论,找不到非零的初值使迭代序列收敛到0.
再取初值,同样迭代20次,结果为：
当初值为0时,迭代序列收敛于0.
〔3你能否解释〔2中观察到的现象？对非线性迭代,迭代序列收敛性与什么因素有关？你能否给出迭代收敛的一个充分的条件？初始值的选取对迭代的收敛性及其收敛到哪一个解有什么影响？
〔提示：在一个光滑函数的局部,它可以近似看成一个线性函数。然后,你可以利用线性迭代的有关结论。
答：通过以上观察到的现象,我们看到,对非线性迭代,迭