数学实验综合实验报告.docx

一、实验目的：
1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。
2、通过在 mathematica环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性 方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用 mathematica编程生挑战 2、迭代(二)一分形
分形几何一描述自然界的几何形态，把自然形态看作是具有无限嵌套层次的
精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性， 于是在简单的迭代过程中就 可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。
(i)生成元
早在i9世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的 图形。这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的 Koch曲
线，它的构造方式是给定一条直线段%,将它分为三等分，并将中间的一段用以
该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，，冉对图形Fi
中的每一小段都按上述方法修改， limFk, k
即所谓的Koch曲线.
Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一条折线Fi代替，我们称
，给定一个生 成元，我们就可以生成各种各样的分形图形。
(2)复变函数迭代理论
给定初始复数Zo ,考虑如下迭代：
2
ZkiZk2,k 0,i,2,L(1)
其中Zk,k 0,i,2,L为复数，为(复)常数。
对于给定白初始点Zo ,迭代序列有可能有界，也可能发散到无穷。令是使
得迭代序列有界的所有初值Zo构成的集合，即
J =｛Zo|迭代序列｛ZJk 0有界｝
我们称J在复平面上构成的集合为Julia集。对不同的参数，Julia 集
的形状也会不同。特别的0 ,对应的Julia集为圆盘。
如果固定初值Z。，则对不同的参数 ,迭代序列｛Zk｝k 0的有界性也不相
同。令Mz0是使得迭代序列｛ZQk 0有界的所有参数构成的集合，即
M z0 =｛|迭代序列｛ZJk 0有界｝
则称M Z0在复平面上构成的集合为 Mandelbrot集。
为了便于在计算机上绘制出Julia 集和 Mandelbrot集，我们令
ZkXkiyk, p iq,则（1）式可改写为
xk 1
Xk yk
1,2,L
、22
记rk Xk yk ,则Julia集为使得序列｛%｝k 0有界的初始点（小，丫0）构成 的集合，Mandelbrot集为使得序列｛%鼠。有界的参数（p, q）构成的集合。Julia 集与Mandelbrot集会是什么样子？如果没有计算机的帮助，你是很难想象的。 下面，我们给出这两个集合的计算机作图方法。
Julia集绘制方法
（1）设定初始值P,q ,一个最大的迭代次数N，图形的分辨率大小a,b和 使用的颜色数K （如K 16）（或者给定灰度级L）。
（2）设定一个上界值M max（2, Jp~q2）。
（3）将矩形区域R: ｛（x, y） | M x,y M｝分成a b的网格，分别以 每个网点（fi,gi） , fiM 2M i , gi M % j , i 0,1 ,2,L ,
ab
j 0,1,2,L作为初始值（x0,y。）利用riter 做迭代（实际上，只需对满足
x2 yo M2的初始点迭代）。如果对所有n N , x： y： M 2 ,将图形的 （i, j）像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步n0开始有xn0 yn0 M 2 , 则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。
Mandelbrot集绘制方法
（1）设定一个最大的迭代次数 N ,图形的分辨率大小a,b和使用的颜色数
K （如K 16）（或者给定灰度级L ）。
（2）设定一个上界值M 2 0
（3）将矩形区域R: ｛（x,y）| M x,y M ｝分成a b的网格，分别以
每个网点(fi，gi) , fiM 2M i , gi M2M- j , i 0,1 ,2, L ,
ab
j 0,1,2,L作为参数值(p,q)利用riter 做迭代(实际上，只需对满足
p2 q2 4的初始点迭代)。每次得带的初值均为(X0,y0)(0,0) o如果对所有
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n N , Xn ynM ,将图形的(i, j)像素点用黑色显示。否则，如果从迭代
的某一步n0开始有xn0yn0M 2 ,则利用第种颜色显示相应像素(或者用相
应的灰度级显示)。
四、实验的内容和步骤：
练习1
2
X
给定初值X0及迭代函数f(x)迭代n次产生相应的数列。
mathematica程序如下：