导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法.doc

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. v
那么 ，
当时，，故在上单调递增，
因此 当时，，即成立．
故 当时，有．
即 ．
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. v .
【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进展“常规处理〞，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断．
【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式
【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断
的正负漏掉符号．
【备考提示】函数类问题的解题方法要悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而表达导数的工具性．
6．【2007年理】 〔22〕〔本小题总分值14分〕
设函数，其中．
〔I〕当时，判断函数在定义域上的单调性；
〔II〕求函数的极值点；
〔III〕证明对任意的正整数，不等式都成立．
【解】〔Ⅰ〕由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
当时，，即在上恒成立，
当时，，
当时，函数在定义域上单调递增
〔Ⅱ〕①由〔Ⅰ〕得：当时，函数无极值点
②时，有两个一样的解，
时，， 时，，
时，函数在上无极值点
③当时，有两个不同解，，，
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. v .
时，，，
即，
时，，随的变化情况如下表：
极小值
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，， ，
此时，，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点
；
综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点
〔Ⅲ〕当时，函数，
令函数，
那么．
当时，，所以函数在上单调递增，
. .
. v .
又时，恒有，即恒成立
故当时，有．
对任意正整数取，那么有
所以结论成立．
7．【2008年理】 21．〔本小题总分值13分〕
函数．
〔I〕求函数的单调区间；
〔Ⅱ〕假设不等式对任意的都成立〔其中是自然对数的底数〕．
求的最大值．
解： 〔Ⅰ〕函数的定义域是，
设，那么
令那么
当时， 在上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数．
所以在处取得极大值，而，所以，
函数在上为减函数．
于是当时，
当时，
所以，当时，在上为增函数．
当时，在上为减函数．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
〔Ⅱ〕不等式等价于不等式由知，
设那么
由〔Ⅰ〕知，即
. .
. v .
所以于是在上为减函数．
故函数在上的最小值为
所以a的最大值为
1．2009潍坊文科〔22〕〔本小题总分值14分〕
设函数表示的导函数．
〔I〕求函数的单调递增区间；
〔Ⅱ〕当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；
〔Ⅲ〕当k为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式
对一切正整数均成立，并比较与的大小．
解：〔Ⅰ〕函数的定义域为〔0，+∞〕，
又 ， …………1分
当k为奇数时，，
即的单调递增区间为． …………2分
当k