复合函数的单调性例讲.doc

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复合函数的单调性 例 讲
五寨一中 摄爱忠
高考主要考察：①求复合函数的单调区间；②讨论含参，由*2+4*+3>0知函数的定义域为，
因y= ∈(0,+∞)上是减函数，而u= *2+4*+4在*∈(-∞，-3)上是减函数，
在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，
函数y=(*2+4*+4) 在*∈(-∞，-3)上是增函数；在*∈(-1，+ ∞)上是减函数.
变式训练：
◇讨论函数的单调性。
解：函数定义域为R. 令u=*2-4*+3，y=。
指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数，
u=*2-4*+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
∴ 函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值围是R，无需转化为自变量的取值围。
题型3：外函数有两种单调性函数有一种单调性的复合型.
例 题3：
◇ 函数y=2sin( -2*)的单调递增区间是( )
(A). (B). (C). (D).
解：令y=sinu，u= -2*，∵u= -2*是R上的减函数，而y=sinu在u ∈[2kπ+，2kπ+]
(k∈Z)上单调递减，
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根据函数单调性的复合规律，令2kπ+≤ -2*≤2kπ+得:
当k=0时，，应选(A) .
例 题4：
◇讨论函数y=(log2*)2+log2*的单调性.
解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log2*，y=u2+u
∵ u=log2*在(0，+∞)上是增函数，
y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数
【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值围.
令，则0＜*≤，
(u≥log2*≥*≥)
所以y=(log2*)2+log2*在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
用数轴标单调区间如下：
①求复合函数的定义域；②求函数在定义域的单调区间；③求外函数的单调
区间；④求外函数对函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减〞写出复合函数的单调区间.
变式训练：
◇求函数的单调区间．
【解析】〔1〕此函数的定义域：；
〔2〕此函数是由函数复合所得；
〔3〕层函数的单调区间：函数在单调递减；
〔4〕外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；
〔5〕根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．
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【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围.
◇函数的单调递减区间是；单调递减区间是.
题型4：外函数都有两种单调性的复