数列的子列.doc

数列的子列.doc§ 数列的子列
定 义
1 ：设 { an} 为数列 ， { nk } 为正整数
集N 的无限子集，且
n1 n2
nk，则数列 an1 , an2 , , ank ,
，称为数列 { an} 的一个子，从而 | an
a | 。
所以 lim an
a ，即 { an } 收敛。
k
（ 6）数列 { an} 收敛的充要条件： { an} 的任何子列都收敛于同一极
限 .
证明

:

必要性

.

设 lim an
n

a,{ ank

} 是

{ an }

的任一子列

.

0, N

0 ,

使
得当

n

N 时有

| an

a |

.

由于

nk

k , 故当

k

N 时更有 nk

N ,

从而
也有

| ank

a |

, 这就证明了

lim an kk

a .
充分性 .
考虑 { an} 的子列 { a2 n},{
a2 n 1},{ a3 n} . 按假设它们都收敛 .
由于 { a6n } 既是 { a2 n} , 又是 { a3n } 的子列 , 故由刚才证明的必要性有
lim a2n
lim a6n
lim a3n . 又 { a6k
3} 既是 { a2k
1} 又是 { a3 k} 的子列 , 同样可
n
n
n
得 lim a2k 1 lim a3 k . 故 lim a2 k
lim a2 k 1 .
由上面的 （4）点可知 { an } 收
k
k
k
k
敛 .
下面举几个子列的例子。
例 1 :
证明以下数列发散
（ 1） ( 1) n
n
;
（2） n( 1) n
n
1
证明 :
设 an
( 1) n
n ，则 a2 n
2n
1, (n
) ，
n
1
2n
1
而 a2n
1
2n
1
1，因此
(
1) n
n
发散。
2n
n
1
（ 2） n( 1) n
n
证明 : n( 1) 的偶数项组成的数列 a2n 2n ，发散，所以
n
n( 1) 发散。
例 2: 判断以下结论是否成立 : 若 { a2 k 1 } 和{ a2k } 都收敛，则 { an }