数列的子列.pdf

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定义1:设{a}为数列,{n}为正整数集N的无限子集,且
nk
nnn,则数列a,a,,a,,称为数列{a}的一个子
12knnnn
12k
列,简记为{a}。
n
k
在数列{a}中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项
n
所得的数列称为{a}的子列,记为{a},其中n表示a在原数列
nnkn
kk
中的项数,k表示它在子列中的项数.
定义2:数列{a}本身以及{a}去掉有限项后得到的子列,称为{a}
nnn
的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为{a}非平凡子列。
n
性质:一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散;且在
收敛时有相同的极限。
对数列的子列,有如下结果:
(1)对每一个k,有nk.
k
(2)对任意两个正整数h,k,如果hk,则n,若nn,
hkhk
则hk.
(3)limxa0,K,kK,有xa.
nn
nkk
(4)数列x收敛的充要条件是x和x收敛到同一极限.
n2n2n1
证明:x,则任给0,找得到正整数N,当nN时,
n
n
有|xx|.此时对2N,当2n>2N时也有|xx|,亦即
n2n
limxx.
2n2n1
nn
limxx,则对任给0,找得到正整数N,
2n2n1
nn
当n>N时,有
|xx|①
2n
同时可找到正整数M,当n>M时,有
|xx|②
2n1
从而取当时为偶数则满足①
N0=max{2N,2M+1},n>N0,n,;
n为奇数,则满足②,
即当n>N时,有|xx|,亦即limxx.
nn
n
(5)若{a},{a}和{a}都收敛,且有相同的极限,则{a}收
3k23k13kn
敛。或者说:数列{a}收敛的充要条件是{a},{a}和{a}收
n3k23k13k
敛到同一极限.
证明:设limalimalimaa,则由数列极限的定义,知
3k23k13k
kkk
0,K0,kK,|aa|;同样也有K0,kK,
113k222
|aa|;K0,kK,|aa|。
3k1333k
取Nmax{3K,3K,3K},当nN时,对任意的自然数n,若
123
n3k2,则必有kK,从而|aa|;同样若n3k1,则必有
1n
kK,从而也有|aa|;若n3k,则必有kK,从而|aa|。
2n3n
所以limaa,即{a}收敛。
nn
k
(6)数列{a}收敛的充要条件:{a}的任何子列都收敛于同一极
nn
限.
证明:a,{a}是{a}的任一子列.0,N0,使得
nnn
nk
当nN时有|aa|.由于nk,故当kN时更有nN,从而也有
nkk
|aa|,这就证明了limaa.
nn
kkk
{a}的子列{a},{a},{a}.
n2n2n13n
于{a}既是{a},又是{a}的子列,故由刚才证明的必要性有
6n2n3n
limalima{a}既是{a}又是{a}的子列,同样可得
2n6n3n6k32k13k
nnn
lima(4)点可知{a}收敛.
2k13k2k2k1n
kkkk
下面举几个子列的例子。
例1:证明以下数列发散
n(1)n
(1)(1)n;(2)n
n1
n2n
证明:设a(1)n,则a1,(n),
nn12n2n1
2n1n
而a1,因此(1)n发散。
2n12nn1
(2)n(1)n

证明:n(1)n的偶数项组成的数列a2n,发散,所以
2n
(1)n
n发散。
例2:判断以下结论是否成立:若{a}和{a}都收敛,则{a}收
2k12kn
敛。
解:结论不一定成立。例如,设a(1)n,则a1,a1都
n2k2k1
收敛,但a(1)n发散。
n
注:若{a}和{a}都收敛,且极限相等(即limalima),
2k12k2k12k
kk
则{a}收敛。
n
例4:若单调数列{a}含有一个收敛子列,则{a}收敛。
nn
证明:不妨设{a}是单调增加数列,{a}是其收敛子列。于是{a}
nnn
kk
有界,即存在M0,使得aM,k1,2,。(这里用了结论:数
n
k
列收敛,则必有界)。
对单调增加数列{a}中的任一项a必有aaM,即{a}单调
nmmmn
k
增加有上界,从而收敛。(这里用了结论:单调有界数列必收敛)。
例5(致密性定理):任何有界数列必有收敛的子数列。
证明:设{x}是一个有界数列,且设
n
ysup{x}sup{x,x,}sup{x,x,}sup{x}y
nknn1n1n2kn1
knkn1
即{y}是一个单调下降的数列,又{x}有界,则存在正数M,
nn
|x|M,从而|y|M。
nn
则{y}是单调有界数列。由单调有界收敛原理知,{y}收敛。
nn