数列的子列.docx

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定义1：设｛an｝为数列，｛nk｝为正整数集N+的无限子集，且n〔cn2M川3〈III,则数列an1,an2，|||,ank,|H,称为数列⑸｝的一个子列，简记为｛ank｝O
在数列｛an｝中，保持原来次序自左往右任§
定义1：设｛an｝为数列，｛nk｝为正整数集N+的无限子集，且n〔cn2M川3〈III,则数列an1,an2，|||,ank,|H,称为数列⑸｝的一个子列，简记为｛ank｝O
在数列｛an｝中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项
所得的数列称为｛an｝的子列，记为｛ank｝,其中nk表示ank在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数.
定义2:数列｛an｝本身以及｛an｝去掉有限项后得到的子列，称为｛an｝的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为｛an｝非平凡子列。
性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在
收敛时有相同的极限。
对数列的子列，有如下结果：
(1)对每一个k,有nk之k.
(2)对任意两个正整数h,k,如果h之k,，若门卜£必，则hMk.
(3)limxnk=auV®>0,mK^N,Vk>K,有Xnk-a<..
(4)数列4收敛的充要条件是X2n和X2n书收敛到同一极限.
证明：%Xn=x，则任给名A0,找得到正整数N,当n〉N时,有|Xn-X|<,当2n>2N时也有|X2n-x|<3亦即nm^n=*=X.
=nmX2n书=X,则对任给40,找得到正整数N,当n>N时，有
|X2n-X|<①
同时可找到正整数M,当n>M时，有
|x2n4一x|<名②)
从而取No=max｛2N,2M+1｝,当n>No时，n为偶数,则满足①；n为奇数，
则满足②，
即当n>N时，有|xn-x|<,,亦即limxn=
(5)若卜一｝,⑶匕｝和3k｝都收敛，且有相同的极限，则｛an｝收敛。或者说：数列｛前｝收敛的充要条件是｛as-｝,作3匕｝和｛a3k｝收敛到同一极限.
证明：设lima3k/=lima3k」=lima3k=a则由数列极限的定义，知k-.：：k-：：-k
V®>0,三K1A0,Vk>K1,|a3k/—a|<名；同样也有3K2>0?Vk>K2?
|a3k二一a|<^；三K3>0,Vk>K3,|a3k—a|<s。
取N=max(3K1,3"3(｝,当n〉N时，对任意的自然数n,若n=3k-2,则必有k〉Ki,从而|an-a|<”同样若n=3k-1,则必有k>K2,从而也有|an-a|<君；若n=3k,贝U必有kaK3,从而|an-a|<£。所以liman=a,即⑶｝收敛。
k—
(6)数列｛an｝收敛的充要条件：｛an｝的任何子列都收敛于同一极
限.
证明：=a,｛ank｝是｛an｝>0,3N>0,使得n-k
当n>N时有|an-a|<［“，故当k>N时更有以aN，从而也有
1ank-a|<3这就证明了limank=
｛an｝的子列｛a2n｝,｛a2n」｝,｛a3n｝.
于｛a6n｝既是｛a2n｝，又是｛am的子歹U,故由刚才证明的必要性